Numar Natural Rest D90467

1. **Enunțul problemei:** Avem un număr natural $n$ care, împărțit la 6, 8, 9, 12 și 16, dă același rest 5. 2. **Ce înseamnă asta?** Dacă împărțim $n$ la fiecare dintre aceste numere, restul este 5. Putem scrie: $$n = 6k + 5 = 8m + 5 = 9p + 5 = 12q + 5 = 16r + 5$$ unde $k,m,p,q,r$ sunt întregi. 3. **Scădem 5 din toate părțile:** $$n - 5 = 6k = 8m = 9p = 12q = 16r$$ Astfel, $n - 5$ este multiplu comun al numerelor 6, 8, 9, 12 și 16. 4. **Calculăm cel mai mic multiplu comun (cmmdc) al acestor numere:** - Descompuneri în factori primi: - $6 = 2 \times 3$ - $8 = 2^3$ - $9 = 3^2$ - $12 = 2^2 \times 3$ - $16 = 2^4$ - Cel mai mic multiplu comun (cmmmc) ia puterile maxime: - $2^4$ (din 16) - $3^2$ (din 9) Deci: $$\text{cmmmc}(6,8,9,12,16) = 2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144$$ 5. **Rezolvăm punctele:** **i) Cel mai mic $n$ cu această proprietate:** $$n - 5 = 144 \Rightarrow n = 144 + 5 = 149$$ **ii) Cel mai mic $n > 5$ cu această proprietate:** Deoarece $n=149$ este deja mai mare decât 5, răspunsul este tot $149$. **iii) Cel mai mic multiplu de 7 cu această proprietate:** Căutăm cel mai mic $n$ astfel încât: $$n - 5 = 144k$$ și $$n \equiv 0 \pmod{7}$$ Deci: $$n = 144k + 5$$ și $$144k + 5 \equiv 0 \pmod{7}$$ Calculăm $144 \mod 7$: $$144 \div 7 = 20 \times 7 = 140, \quad 144 - 140 = 4$$ Deci: $$144k + 5 \equiv 4k + 5 \equiv 0 \pmod{7}$$ Rezolvăm: $$4k \equiv -5 \equiv 2 \pmod{7}$$ deoarece $-5 \equiv 2$ mod 7 (pentru că $7 - 5 = 2$). Căutăm inversul lui 4 modulo 7: $$4 \times 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$$ Deci inversul lui 4 este 2. Multiplicăm ambele părți cu 2: $$k \equiv 2 \times 2 = 4 \pmod{7}$$ Cel mai mic $k$ care satisface este $k=4$. Calculăm $n$: $$n = 144 \times 4 + 5 = 576 + 5 = 581$$ **Răspunsuri finale:** - i) $149$ - ii) $149$ - iii) $581$