1. 题目说明：已知函数 $$f(x) = \log_a \left( \frac{1 + kx}{x - 1} \right)$$，其中 $$a > 0, a \neq 1$$，且 $$f(x)$$ 是奇函数。求实数 $$k$$ 的值，并判断 $$f(x)$$ 在区间 $$(1, +\infty)$$ 上的单调性。
2. 奇函数定义：函数 $$f(x)$$ 是奇函数意味着 $$f(-x) = -f(x)$$ 对所有定义域内的 $$x$$ 成立。
3. 利用奇函数性质：
$$f(-x) = \log_a \left( \frac{1 + k(-x)}{-x - 1} \right) = \log_a \left( \frac{1 - kx}{-x - 1} \right)$$
4. 根据奇函数条件：
$$f(-x) = -f(x) \Rightarrow \log_a \left( \frac{1 - kx}{-x - 1} \right) = - \log_a \left( \frac{1 + kx}{x - 1} \right)$$
5. 利用对数性质：
$$- \log_a y = \log_a \frac{1}{y}$$，所以
$$\log_a \left( \frac{1 - kx}{-x - 1} \right) = \log_a \left( \frac{x - 1}{1 + kx} \right)$$
6. 去对数得：
$$\frac{1 - kx}{-x - 1} = \frac{x - 1}{1 + kx}$$
7. 交叉相乘：
$$ (1 - kx)(1 + kx) = (x - 1)(-x - 1) $$
8. 展开左边：
$$ 1 - (kx)^2 = 1 - k^2 x^2 $$
9. 展开右边：
$$ (x - 1)(-x - 1) = -x^2 - x + x + 1 = -x^2 + 1 $$
10. 等式变为：
$$ 1 - k^2 x^2 = -x^2 + 1 $$
11. 两边同时减去1：
$$ -k^2 x^2 = -x^2 $$
12. 两边同时除以 $$-x^2$$（$$x \neq 0$$）：
$$ \cancel{-k^2} \cancel{x^2} / \cancel{-} \cancel{x^2} = \cancel{-} \cancel{x^2} / \cancel{-} \cancel{x^2} \Rightarrow k^2 = 1 $$
13. 得到：
$$ k = \pm 1 $$
14. 判断 $$f(x)$$ 在 $$(1, +\infty)$$ 上的单调性：
函数 $$f(x) = \log_a \left( \frac{1 + kx}{x - 1} \right)$$，令 $$y = \frac{1 + kx}{x - 1}$$。
当 $$k = 1$$，
$$y = \frac{1 + x}{x - 1}$$，分子分母均为正，且随着 $$x$$ 增大，分子和分母的变化使得 $$y$$ 单调递减。
当 $$k = -1$$，
$$y = \frac{1 - x}{x - 1} = -1$$，为常数，不符合奇函数条件的定义域要求。
因此，$$k = 1$$。
15. 结论：
$$k = 1$$，且 $$f(x)$$ 在 $$(1, +\infty)$$ 上单调递减（当 $$a > 1$$ 时）或单调递增（当 $$0 < a < 1$$ 时）。
Odd Function K 061A76
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