1. Problema ne oferă o lege de compoziție definită prin formula: $$x \bullet y = -\frac{1}{4}(x+1)(y+1) - 1$$ Vom verifica fiecare cerință pas cu pas. 2. a) Arătați că $1 \bullet 5 = 2$. Aplicăm formula cu $x=1$ și $y=5$: $$1 \bullet 5 = -\frac{1}{4}(1+1)(5+1) - 1 = -\frac{1}{4} \times 2 \times 6 - 1 = -\frac{12}{4} - 1 = -3 - 1 = -4$$ Rezultatul este $-4$, nu $2$, deci $1 \bullet 5 \neq 2$. Probabil este o eroare în enunț sau în interpretare. 3. b) Arătați că $e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție $\bullet$. Elementul neutru $e$ trebuie să satisfacă: $$x \bullet e = x \quad \text{și} \quad e \bullet x = x$$ Calculăm $x \bullet 3$: $$x \bullet 3 = -\frac{1}{4}(x+1)(3+1) - 1 = -\frac{1}{4}(x+1) \times 4 - 1 = -(x+1) - 1 = -x - 2$$ Pentru a fi egal cu $x$, trebuie: $$-x - 2 = x \implies -2 = 2x \implies x = -1$$ Deci egalitatea nu este valabilă pentru orice $x$, deci $3$ nu este element neutru. 4. c) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale, cu $m \leq n$, pentru care $m \bullet n = 3$. Folosim formula: $$m \bullet n = -\frac{1}{4}(m+1)(n+1) - 1 = 3$$ Rezolvăm ecuația: $$-\frac{1}{4}(m+1)(n+1) - 1 = 3$$ $$-\frac{1}{4}(m+1)(n+1) = 4$$ $$(m+1)(n+1) = -16$$ Produsul $(m+1)(n+1)$ este negativ, dar $m,n$ sunt numere naturale, deci $m+1 \geq 1$ și $n+1 \geq 1$, deci produsul este pozitiv. Deci nu există perechi $(m,n)$ naturale cu $m \leq n$ care să satisfacă $m \bullet n = 3$. Răspunsuri: a) $1 \bullet 5 \neq 2$, ci $-4$. b) $3$ nu este element neutru. c) Nu există perechi $(m,n)$ naturale cu $m \leq n$ pentru care $m \bullet n = 3$.