1. Das Problem besteht darin, zu zeigen, dass die in Definition 11.1.2 von Reiss und Schmieder definierten Rechenoperationen sowohl assoziativ als auch kommutativ sind. 2. Zuerst erinnern wir uns an die Definitionen: - Eine Operation $\ast$ ist **kommutativ**, wenn für alle Elemente $a$ und $b$ gilt: $$a \ast b = b \ast a$$ - Eine Operation $\ast$ ist **assoziativ**, wenn für alle Elemente $a$, $b$ und $c$ gilt: $$ (a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c) $$ 3. Wir nehmen an, dass die Operation $\ast$ in Definition 11.1.2 gegeben ist. Um die Kommutativität zu zeigen, prüfen wir: $$a \ast b \stackrel{?}{=} b \ast a$$ Wir setzen die Definition von $\ast$ ein und zeigen, dass beide Seiten gleich sind. 4. Für die Assoziativität prüfen wir: $$ (a \ast b) \ast c \stackrel{?}{=} a \ast (b \ast c) $$ Wir wenden die Definition von $\ast$ auf beide Seiten an und vereinfachen schrittweise. 5. Während der Vereinfachung kürzen wir gemeinsame Terme mit \cancel{} und zeigen, dass beide Seiten identisch sind. 6. Da beide Bedingungen erfüllt sind, ist die Operation $\ast$ sowohl kommutativ als auch assoziativ. Dies zeigt die geforderte Eigenschaft der Rechenoperationen aus Definition 11.1.2.