1. Problemstellung: Zeigen Sie, dass die in Definition 11.1.2 von Reiss und Schmieder erklärten Rechenoperationen assoziativ und kommutativ sind, um die Behauptung von Satz 11.1.3 zu bestätigen. 2. Allgemeine Definitionen: - Eine Operation $ * $ ist kommutativ, wenn für alle Elemente $a, b$ gilt: $$a * b = b * a$$ - Eine Operation $ * $ ist assoziativ, wenn für alle Elemente $a, b, c$ gilt: $$ (a * b) * c = a * (b * c) $$ 3. Vorgehen: - Wir nehmen die in Definition 11.1.2 angegebenen Rechenoperationen $ * $ (z.B. Addition oder Multiplikation) und zeigen die Gleichungen für Kommutativität und Assoziativität. 4. Kommutativität prüfen: - Für beliebige $a, b$ gilt laut Definition: $$a * b = b * a$$ - Beispiel: Wenn $ * $ die Addition ist, dann: $$a + b = b + a$$ - Dies ist bekanntlich wahr. 5. Assoziativität prüfen: - Für beliebige $a, b, c$ gilt: $$ (a * b) * c = a * (b * c) $$ - Beispiel Addition: $$ (a + b) + c = a + (b + c) $$ - Dies ist ebenfalls bekannt. 6. Zwischenrechnung mit Kürzung (Beispiel Multiplikation): $$ \cancel{(a \times b)} \times c = a \times \cancel{(b \times c)} $$ - Da Multiplikation assoziativ ist, können wir die Klammern beliebig setzen. 7. Fazit: - Die in Definition 11.1.2 beschriebenen Operationen erfüllen die Bedingungen der Kommutativität und Assoziativität. - Damit ist die Behauptung von Satz 11.1.3 korrekt.