1. Énoncé du problème : On a deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ : $f(x) = x - 5$ et $g(x) = x^2 - x + 2$. On doit trouver les expressions de $h(x)$ pour plusieurs combinaisons de $f$ et $g$. 2. Rappel des opérations sur fonctions : - Addition : $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ - Soustraction : $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$ - Multiplication par un scalaire : $(af)(x) = a \times f(x)$ - Multiplication : $(fg)(x) = f(x) \times g(x)$ - Division : $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, $g(x) \neq 0$ 3. Calculs : **1) $h = f + g$** $$ h(x) = f(x) + g(x) = (x - 5) + (x^2 - x + 2) = x^2 - 5 + 2 = x^2 - 3 $$ **2) $h = 2f - 3g$** $$ h(x) = 2f(x) - 3g(x) = 2(x - 5) - 3(x^2 - x + 2) = 2x - 10 - 3x^2 + 3x - 6 = -3x^2 + 5x - 16 $$ **4) $h = \frac{f}{g}$** $$ h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x - 5}{x^2 - x + 2} $$ **5) $h = \frac{f - g}{g} + 1$** $$ h(x) = \frac{f(x) - g(x)}{g(x)} + 1 = \frac{(x - 5) - (x^2 - x + 2)}{x^2 - x + 2} + 1 = \frac{x - 5 - x^2 + x - 2}{x^2 - x + 2} + 1 = \frac{-x^2 + 2x - 7}{x^2 - x + 2} + 1 $$ 4. Simplification finale pour le dernier cas : $$ h(x) = \frac{-x^2 + 2x - 7}{x^2 - x + 2} + \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - x + 2} = \frac{-x^2 + 2x - 7 + x^2 - x + 2}{x^2 - x + 2} = \frac{x - 5}{x^2 - x + 2} $$ Donc $h(x) = \frac{x - 5}{x^2 - x + 2}$ pour le cas 5. **Résumé des expressions :** - $h = f + g = x^2 - 3$ - $h = 2f - 3g = -3x^2 + 5x - 16$ - $h = \frac{f}{g} = \frac{x - 5}{x^2 - x + 2}$ - $h = \frac{f - g}{g} + 1 = \frac{x - 5}{x^2 - x + 2}$