1. **Problem:** Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Parabeln der Form $y = x^2 + c$. Für eine Parabel $y = x^2 + c$ ist der Scheitelpunkt immer bei $S = (0, c)$, da die Normalparabel $y = x^2$ ihren Scheitel bei $(0,0)$ hat und nur um $c$ nach oben oder unten verschoben wird. **Lösungen:** a) $y = x^2 - 3$ Scheitel: $S = (0, -3)$ b) $y = x^2 + 5$ Scheitel: $S = (0, 5)$ c) $y = x^2 - 4$ Scheitel: $S = (0, -4)$ d) $y = x^2 + \frac{1}{2}$ Scheitel: $S = (0, \frac{1}{2})$ e) $y = x^2 - \frac{3}{4}$ Scheitel: $S = (0, -\frac{3}{4})$ f) $y = x^2 + 2.5$ Scheitel: $S = (0, 2.5)$ g) $y = x^2 - 1.5$ Scheitel: $S = (0, -1.5)$ h) $y = x^2 + 2.4$ Scheitel: $S = (0, 2.4)$ i) $y = x^2 - 3.6$ Scheitel: $S = (0, -3.6)$ j) $y = x^2 - 0.5$ Scheitel: $S = (0, -0.5)$ 3. **Problem:** Gegeben sind neue Scheitelpunkte der Normalparabel $y = x^2$ verschoben auf der y-Achse. Geben Sie die Funktionsgleichungen an. Die Funktionsgleichung einer Parabel mit Scheitel $S = (0, k)$ ist $y = x^2 + k$. a) $S = (0, 1.5)$ Funktion: $y = x^2 + 1.5$ b) $S = (0, -6)$ Funktion: $y = x^2 - 6$ c) $S = (0, -2.6)$ Funktion: $y = x^2 - 2.6$ d) $S = (0, 4.2)$ Funktion: $y = x^2 + 4.2$ e) $S = (0, -\frac{1}{2})$ Funktion: $y = x^2 - \frac{1}{2}$ f) $S = (0, 3.8)$ Funktion: $y = x^2 + 3.8$ 4. **Problem:** Bestimmen Sie den Scheitelpunkt und zeichnen Sie die Parabeln der Form $y = (x - h)^2 + k$. Der Scheitelpunkt ist $S = (h, k)$. a) $y = (x - 1)^2 + 2$ Scheitel: $S = (1, 2)$ b) $y = (x + 1)^2 - 2$ Scheitel: $S = (-1, -2)$ c) $y = (x - 3)^2 + 4$ Scheitel: $S = (3, 4)$ d) $y = (x + 3)^2 - 4$ Scheitel: $S = (-3, -4)$ 5. **Problem:** Gegeben sind neue Scheitelpunkte der Normalparabel verschoben auf der x- und y-Achse. Geben Sie die Funktionsgleichungen an. Die Funktionsgleichung mit Scheitel $S = (h, k)$ ist $y = (x - h)^2 + k$. a) $S = (-3, 0)$ Funktion: $y = (x + 3)^2$ b) $S = (2, 0)$ Funktion: $y = (x - 2)^2$ c) $S = (-3, 4)$ Funktion: $y = (x + 3)^2 + 4$ d) $S = (1, -3)$ Funktion: $y = (x - 1)^2 - 3$ e) $S = (4, 2)$ Funktion: $y = (x - 4)^2 + 2$ f) $S = (-4, 2)$ Funktion: $y = (x + 4)^2 + 2$ 6. **Problem:** Verschiebung der Normalparabel und Bestimmung der Gleichung und des Scheitelpunkts. Die Normalparabel $y = x^2$ wird verschoben: a) 3 Einheiten nach rechts: Scheitel: $S = (3, 0)$ Gleichung: $y = (x - 3)^2$ b) 1 Einheit nach unten: Scheitel: $S = (0, -1)$ Gleichung: $y = x^2 - 1$ c) 5 Einheiten nach links und 4 Einheiten nach oben: Scheitel: $S = (-5, 4)$ Gleichung: $y = (x + 5)^2 + 4$ d) 2 Einheiten nach rechts und 6 Einheiten nach unten: Scheitel: $S = (2, -6)$ Gleichung: $y = (x - 2)^2 - 6$ e) 3 Einheiten nach rechts und 2.5 Einheiten nach oben: Scheitel: $S = (3, 2.5)$ Gleichung: $y = (x - 3)^2 + 2.5$ f) 2 Einheiten nach links und 1 Einheit nach oben: Scheitel: $S = (-2, 1)$ Gleichung: $y = (x + 2)^2 + 1$ g) 3 Einheiten nach links und 3 Einheiten nach unten: Scheitel: $S = (-3, -3)$ Gleichung: $y = (x + 3)^2 - 3$ 7a. **Problem:** Bei welchem $x$-Wert nimmt die Funktion $f(x) = (x + 1)^2$ ihren kleinsten Funktionswert 0 an? Der kleinste Funktionswert einer Parabel $y = (x - h)^2 + k$ ist $k$ und wird bei $x = h$ erreicht. Hier ist $f(x) = (x + 1)^2 = (x - (-1))^2$, also Scheitel bei $x = -1$ und minimaler Funktionswert $0$. Antwort: $x = -1$ 7b. **Problem:** Wertetabelle für $f(x) = (x + 1)^2$ mit $x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$. Berechnung: $f(-3) = (-3 + 1)^2 = (-2)^2 = 4$ $f(-2) = (-2 + 1)^2 = (-1)^2 = 1$ $f(-1) = (-1 + 1)^2 = 0^2 = 0$ $f(0) = (0 + 1)^2 = 1^2 = 1$ $f(1) = (1 + 1)^2 = 2^2 = 4$ $f(2) = (2 + 1)^2 = 3^2 = 9$ $f(3) = (3 + 1)^2 = 4^2 = 16$ $f(4) = (4 + 1)^2 = 5^2 = 25$ 7c. **Problem:** Bei welchen $x$-Werten nimmt die Funktion denselben Funktionswert an? Da $f(x) = (x + 1)^2$ eine Parabel ist, gilt $f(a) = f(b)$ wenn $a + 1 = -(b + 1)$, also $a = -b - 2$. Beispiel: $f(-3) = f(1) = 4$, $f(-2) = f(0) = 1$. 7d. **Problem:** Bestimmen Sie weitere $x$-Werte mit gleichem Funktionswert. Für $f(x) = c$, lösen Sie $ (x + 1)^2 = c$. Dann $x + 1 = \pm \sqrt{c}$, also $x = -1 \pm \sqrt{c}$. 7e. **Problem:** Zeichnen Sie die Symmetrieachse ein. Die Symmetrieachse der Parabel $y = (x + 1)^2$ ist die Gerade $x = -1$. 8. **Problem:** Warum beginnt Petra die Wertetabelle beim Scheitelpunkt für $f(x) = (x + 4)^2$? Antwort: Der Scheitelpunkt ist der Punkt mit dem kleinsten Funktionswert (Minimum) und liegt bei $x = -4$. Die Funktion ist symmetrisch um diese Stelle, daher ist es sinnvoll, die Tabelle dort zu beginnen und Werte symmetrisch zu berechnen. 9. **Problem:** Wertetabellen für Funktionen der Form $f(x) = (x - h)^2$ oder $f(x) = (x + h)^2$ mit Symmetrie um den Scheitelpunkt. Beispiel für a) $f(x) = (x + 2)^2$: Scheitelpunkt: $S = (-2, 0)$ Wertetabelle (symmetrisch um $x = -2$): $x$: -4, -3, -2, -1, 0 $f(x)$: $(-4 + 2)^2 = (-2)^2 = 4$, $(-3 + 2)^2 = (-1)^2 = 1$, $(-2 + 2)^2 = 0$, $(-1 + 2)^2 = 1$, $(0 + 2)^2 = 4$ Analog für die anderen Funktionen mit entsprechendem Scheitelpunkt und symmetrischer Wertetabelle. **Zusammenfassung:** - Scheitelpunkte bei $y = x^2 + c$ sind $(0, c)$. - Verschobene Parabeln haben Scheitel $S = (h, k)$ und Gleichung $y = (x - h)^2 + k$. - Wertetabellen beginnen am Scheitelpunkt und nutzen Symmetrie. - Symmetrieachse ist $x = h$.