1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Parabel $y = 0,5x^2 + 2x$. Wir sollen die Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmen und die Parabel skizzieren. 2. **Formel und Regeln:** Die Schnittpunkte mit der x-Achse erhält man, indem man $y=0$ setzt und die Gleichung löst: $$0,5x^2 + 2x = 0$$ Wichtig: Eine Produktgleichung $ab=0$ ist genau dann erfüllt, wenn $a=0$ oder $b=0$. 3. **Schnittpunkte berechnen:** $$0,5x^2 + 2x = x(0,5x + 2) = 0$$ Setze jeden Faktor gleich Null: - $x=0$ - $0,5x + 2 = 0 \Rightarrow 0,5x = -2 \Rightarrow x = \frac{-2}{0,5} = -4$ 4. **Schnittpunkte:** Die Schnittpunkte sind $N_1(0|0)$ und $N_2(-4|0)$. 5. **Scheitelpunkt berechnen:** Der Scheitelpunkt $S$ liegt genau in der Mitte der Schnittpunkte auf der x-Achse: $$x_s = \frac{0 + (-4)}{2} = -2$$ Setze $x_s$ in die Parabel ein, um $y_s$ zu finden: $$y_s = 0,5 \cdot (-2)^2 + 2 \cdot (-2) = 0,5 \cdot 4 - 4 = 2 - 4 = -2$$ 6. **Scheitelpunkt:** $S(-2|-2)$ 7. **Zusammenfassung:** - Schnittpunkte: $N_1(0|0)$, $N_2(-4|0)$ - Scheitelpunkt: $S(-2|-2)$ 8. **Parabel skizzieren:** Die Parabel öffnet nach oben (da $a=0,5 > 0$), hat die Schnittpunkte mit der x-Achse bei $0$ und $-4$ und den Scheitelpunkt bei $(-2, -2)$. **Endergebnis:** Schnittpunkte: $x=0$ und $x=-4$ Scheitelpunkt: $(-2, -2)$