1. **Enunciato del problema:** Traccia il grafico della parabola data dall'equazione $$y = x^2 - 6x - 2$$ e determina l'area del triangolo formato dai suoi punti di intersezione con gli assi cartesiani. 2. **Formula e regole importanti:** - Per trovare i punti di intersezione con l'asse $x$, poniamo $y=0$ e risolviamo l'equazione quadratica. - Per trovare il punto di intersezione con l'asse $y$, poniamo $x=0$. - L'area del triangolo formato dai punti di intersezione con gli assi cartesiani si calcola come $$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altezza}$$ dove base e altezza sono le distanze tra i punti sugli assi. 3. **Calcolo degli zeri (intersezioni con l'asse $x$):** Poniamo $$0 = x^2 - 6x - 2$$ Usiamo la formula risolutiva: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ con $a=1$, $b=-6$, $c=-2$. Calcoliamo il discriminante: $$\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 36 + 8 = 44$$ Quindi: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 3 \pm \sqrt{11}$$ I punti di intersezione con l'asse $x$ sono quindi: $$A(3 - \sqrt{11}, 0), \quad B(3 + \sqrt{11}, 0)$$ 4. **Intersezione con l'asse $y$:** Poniamo $x=0$: $$y = 0^2 - 6 \times 0 - 2 = -2$$ Quindi il punto di intersezione con l'asse $y$ è: $$C(0, -2)$$ 5. **Calcolo dell'area del triangolo:** Il triangolo ha come vertici $A$, $B$ sull'asse $x$ e $C$ sull'asse $y$. La base è la distanza tra $A$ e $B$ sull'asse $x$: $$\text{base} = (3 + \sqrt{11}) - (3 - \sqrt{11}) = 2\sqrt{11}$$ L'altezza è il valore assoluto dell'ordinata di $C$: $$\text{altezza} = |-2| = 2$$ Quindi l'area è: $$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{11} \times 2 = 2\sqrt{11}$$ **Risultato finale:** L'area del triangolo formato dai punti di intersezione con gli assi cartesiani è $$2\sqrt{11}$$.