1. **Enunciato del problema:** Determina l'equazione della parabola con fuoco $F(1, -\frac{3}{2})$ e vertice $V(1, -2)$. Poi, date le intersezioni $A$ e $B$ della parabola con la retta $y = x + 1$, determina le tangenti in $A$ e $B$. 2. **Formula e regole importanti:** L'equazione di una parabola con vertice $V(h,k)$ e fuoco $F(h, k + p)$ (parabola verticale) è $$y = a(x - h)^2 + k$$ dove $a = \frac{1}{4p}$ e $p$ è la distanza tra vertice e fuoco. 3. **Calcolo di $p$:** Il vertice è $V(1, -2)$ e il fuoco $F(1, -\frac{3}{2})$. La distanza verticale è $$p = -\frac{3}{2} - (-2) = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$$ 4. **Calcolo di $a$:** $$a = \frac{1}{4p} = \frac{1}{4 \times \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$$ 5. **Equazione della parabola:** $$y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - 2$$ Espandiamo: $$y = \frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1) - 2 = \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}$$ 6. **Intersezioni con la retta $y = x + 1$:** Poniamo $$\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2} = x + 1$$ Portiamo tutto a sinistra: $$\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2} - x - 1 = 0$$ $$\frac{1}{2}x^2 - 2x - \frac{5}{2} = 0$$ Moltiplichiamo per 2 per eliminare frazioni: $$x^2 - 4x - 5 = 0$$ 7. **Risolviamo l'equazione quadratica:** $$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times (-5)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}$$ $$x = \frac{4 \pm 6}{2}$$ 8. **Calcolo delle due soluzioni:** - $x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5$ - $x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1$ 9. **Coordinate dei punti di intersezione:** - $A = (5, 5 + 1) = (5, 6)$ - $B = (-1, -1 + 1) = (-1, 0)$ 10. **Calcolo della derivata della parabola per le tangenti:** Deriviamo $$y = \frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}$$ $$y' = x - 1$$ 11. **Pendici delle tangenti in $A$ e $B$:** - In $x=5$: $m_A = 5 - 1 = 4$ - In $x=-1$: $m_B = -1 - 1 = -2$ 12. **Equazioni delle tangenti:** Usiamo la formula della retta tangente in $x_0$: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ - In $A(5,6)$: $$y - 6 = 4(x - 5) \Rightarrow y = 4x - 20 + 6 = 4x - 14$$ - In $B(-1,0)$: $$y - 0 = -2(x + 1) \Rightarrow y = -2x - 2$$ **Risultati finali:** - Equazione parabola: $$y = \frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}$$ - Tangente in $A$: $$y = 4x - 14$$ - Tangente in $B$: $$y = -2x - 2$$