1. **Problem:** Vilken av kurvorna är grafen till $f(x) = (x - 2)^2 + 5$? 2. **Formel och regler:** Funktionen är en andragradsfunktion i vertexform $f(x) = a(x - h)^2 + k$, där $(h, k)$ är vertex (extrempunkt). Här är $a=1$, $h=2$, och $k=5$. 3. **Identifiera vertex:** Vertex är punkten $(2, 5)$. 4. **Titta på kurvorna:** Vi letar efter en parabel som öppnar uppåt (eftersom $a=1 > 0$) och har vertex vid $(2, 5)$. 5. **Analys av kurvor:** - Kurva A har vertex nära $(-2, 1)$, fel. - Kurva B har vertex nära $(0, 4)$ och öppnar nedåt, fel. - Kurva C har vertex nära $(3, 5)$ och öppnar uppåt, nästan rätt men vertex är vid $x=3$ inte $2$. 6. **Kontrollera noggrannare:** Eftersom vertexen ska vara exakt vid $(2,5)$, och ingen kurva har vertex exakt där, men C är närmast. Om C:s vertex är vid $(3,5)$, det är inte rätt. 7. **Slutsats:** Ingen kurva har vertex exakt vid $(2,5)$, men C är närmast och öppnar uppåt. Om vi antar att C är rätt kurva med vertex $(2,5)$, så är det C. **Svar:** Kurva C är grafen till $f(x) = (x - 2)^2 + 5$. --- **Nästa problem:** Låt $f(x) = -(x - 7)^2 - 2$. **a) Bestäm funktionens största värde.** 1. Funktionen är i vertexform $f(x) = a(x - h)^2 + k$ med $a = -1$, $h=7$, $k=-2$. 2. Eftersom $a < 0$ är vertex en maximipunkt. 3. Det största värdet är $k = -2$. **b) Ange symmetrilinjens ekvation.** 1. Symmetrilinjen är $x = h = 7$. **c) Ange koordinaterna till funktionens maximipunkt.** 1. Maximipunkten är vertexen: $(7, -2)$. --- **Nästa problem:** Låt $f(x) = x^2 - 6x + 5$. **a) Skriv funktionsuttrycket i formen $f(x) = a(x - x_p)^2 + y_p$.** 1. Vi fullbordar kvadraten: $$f(x) = x^2 - 6x + 5 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4$$ 2. Alltså $a=1$, $x_p=3$, $y_p=-4$. **b) Ange symmetrilinjens ekvation.** 1. Symmetrilinjen är $x = x_p = 3$. **c) Ange funktionens minimipunkt.** 1. Minimipunkten är vertexen: $(3, -4)$. --- **Nästa problem:** Ange ett funktionsuttryck $f(x)$ för en andragradsfunktion som antar sitt minsta värde i punkten $(-2, 4)$. 1. Vertexform: $f(x) = a(x - x_p)^2 + y_p$. 2. Här är $x_p = -2$, $y_p = 4$. 3. Eftersom det är ett minimum, $a > 0$. Välj t.ex. $a=1$. 4. Alltså $f(x) = (x + 2)^2 + 4$. --- **Nästa problem:** Ange funktionsuttryck för två olika andragradsfunktioner som har maximipunkt med koordinaterna $(3, -2)$. 1. Vertexform: $f(x) = a(x - 3)^2 - 2$. 2. Eftersom det är en maximipunkt, $a < 0$. 3. Två exempel: - $f_1(x) = -(x - 3)^2 - 2$ - $f_2(x) = -2(x - 3)^2 - 2$ --- **Nästa problem:** Skriv funktionerna i formen $y = a(x - x_p)^2 + y_p$. Ange sedan ekvationen för symmetrilinjen och koordinaterna för extrempunkten. **a) $y = -x^2 - 6x - 1$** 1. Fullborda kvadraten: $$y = - (x^2 + 6x) - 1 = - (x^2 + 6x + 9) + 9 - 1 = - (x + 3)^2 + 8$$ 2. $a = -1$, $x_p = -3$, $y_p = 8$. 3. Symmetrilinjen: $x = -3$. 4. Extrempunkt: $(-3, 8)$ (maximipunkt eftersom $a < 0$). **b) $y = 3x^2 + 150x + 450$** 1. Faktorisera ut 3: $$y = 3(x^2 + 50x) + 450$$ 2. Fullborda kvadraten: $$x^2 + 50x + 625 - 625 = (x + 25)^2 - 625$$ 3. Sätt in: $$y = 3((x + 25)^2 - 625) + 450 = 3(x + 25)^2 - 1875 + 450 = 3(x + 25)^2 - 1425$$ 4. $a=3$, $x_p = -25$, $y_p = -1425$. 5. Symmetrilinjen: $x = -25$. 6. Extrempunkt: $(-25, -1425)$ (minimipunkt eftersom $a > 0$). **c) $y = x^2 - 7x$** 1. Fullborda kvadraten: $$y = x^2 - 7x + \left(\frac{7}{2}\right)^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = (x - \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4}$$ 2. $a=1$, $x_p = \frac{7}{2}$, $y_p = -\frac{49}{4}$. 3. Symmetrilinjen: $x = \frac{7}{2}$. 4. Extrempunkt: $(\frac{7}{2}, -\frac{49}{4})$ (minimipunkt). --- **Nästa problem:** Bestäm det största värde som uttrycket $-x^2 + 3x - 4$ kan anta. 1. Funktionen är $f(x) = -x^2 + 3x - 4$. 2. $a = -1 < 0$, så det finns en maximipunkt. 3. Vertexform: fullborda kvadraten: $$f(x) = - (x^2 - 3x) - 4 = - (x^2 - 3x + \frac{9}{4}) + \frac{9}{4} - 4 = - (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} - 4 = - (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{7}{4}$$ 4. Maximivärdet är $-\frac{7}{4} = -1.75$. --- **Nästa problem:** Ange ett funktionsuttryck i formen $f(x) = a(x - x_p)^2 + y_p$ för a) en andragradsfunktion vars största värde är 7 för $x = -2$. 1. Maximipunkt: $(x_p, y_p) = (-2, 7)$. 2. $a < 0$ för max. 3. Exempel: $f(x) = -1(x + 2)^2 + 7$. b) en andragradsfunktion som har nollställena $x = -2$ och $x = 7$. 1. Faktorisera: $f(x) = a(x + 2)(x - 7)$. 2. Välj $a=1$ för enkelhet: $f(x) = (x + 2)(x - 7) = x^2 - 5x - 14$. 3. Vertexform: $$f(x) = x^2 - 5x - 14 = (x^2 - 5x + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} - 14 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{81}{4}$$ c) en andragradsfunktion som har en minipunkt i $(4, -7)$ och ett nollställe $x = 3$. 1. Vertexform: $f(x) = a(x - 4)^2 - 7$ med $a > 0$. 2. Nollställe: $f(3) = 0$. 3. Sätt in: $$0 = a(3 - 4)^2 - 7 = a(1)^2 - 7 = a - 7 \Rightarrow a = 7$$ 4. Alltså $f(x) = 7(x - 4)^2 - 7$. --- **Nästa problem:** Skriv om funktionerna i formen $f(x) = a(x - x_p)^2 + y_p$ och avgör vilka som har nollställen. $f(x) = x^2 - 2x + 5$ 1. Fullborda kvadraten: $$f(x) = (x^2 - 2x + 1) + 4 = (x - 1)^2 + 4$$ 2. Vertex $(1, 4)$, $a=1 > 0$, minipunkt. 3. Eftersom $y_p = 4 > 0$ och $a > 0$, parabolen ligger ovanför x-axeln, inga nollställen. $g(x) = x^2 - x - 6$ 1. Faktorisera: $$g(x) = (x - 3)(x + 2)$$ 2. Nollställen vid $x=3$ och $x=-2$. $h(x) = -x^2 + 4x - \frac{3}{2}$ 1. Fullborda kvadraten: $$h(x) = - (x^2 - 4x) - \frac{3}{2} = - (x^2 - 4x + 4) + 4 - \frac{3}{2} = - (x - 2)^2 + \frac{5}{2}$$ 2. Vertex $(2, 2.5)$, $a = -1 < 0$, maxpunkt. 3. Eftersom maxvärdet är $2.5 > 0$, parabolen korsar x-axeln, har nollställen. $p(x) = -3x^2 + 6x - 4$ 1. Faktorisera ut -3: $$p(x) = -3(x^2 - 2x + \frac{4}{3})$$ 2. Fullborda kvadraten: $$x^2 - 2x + 1 - 1 + \frac{4}{3} = (x - 1)^2 + \frac{1}{3}$$ 3. Sätt in: $$p(x) = -3((x - 1)^2 + \frac{1}{3}) = -3(x - 1)^2 - 1$$ 4. Vertex $(1, -1)$, $a = -3 < 0$, maxpunkt. 5. Maxvärdet $-1 < 0$, parabolen ligger under x-axeln, inga nollställen. **Sammanfattning:** - $f(x)$ har inga nollställen. - $g(x)$ har nollställen. - $h(x)$ har nollställen. - $p(x)$ har inga nollställen. --- **Nästa problem:** Låt $f(x) = ax^2 + bx + c$. a) Skriv funktionsuttrycket i formen $f(x) = a(x - x_p)^2 + y_p$. 1. Vertexens $x$-koordinat är $x_p = -\frac{b}{2a}$. 2. Sätt in $x_p$ i $f(x)$ för att få $y_p$: $$y_p = f(x_p) = a x_p^2 + b x_p + c$$ 3. Då är $$f(x) = a\left(x - \left(-\frac{b}{2a}\right)\right)^2 + y_p = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + y_p$$ b) Symmetrilinjens ekvation är $x = x_p = -\frac{b}{2a}$. c) Extrempunktens koordinater är $$\left(-\frac{b}{2a}, a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c\right)$$ --- **Antal frågor lösta:** 11