1. El problema pide representar las parábolas dadas encontrando el vértice, los puntos de corte con los ejes y un punto cercano al vértice para cada función. 2. La fórmula general para una parábola es $$y = ax^2 + bx + c$$. El vértice se encuentra en $$x = -\frac{b}{2a}$$ y su coordenada y se calcula sustituyendo este valor en la función. Los puntos de corte con el eje y se encuentran evaluando $$x=0$$. Los puntos de corte con el eje x se encuentran resolviendo $$ax^2 + bx + c = 0$$. 3. Para cada función: a) $$y = x^2 + 2x + 1$$ - Vértice: $$x = -\frac{2}{2 \times 1} = -1$$ - $$y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$$ - Vértice: $$(-1, 0)$$ - Corte eje y: $$y(0) = 1$$, punto: $$(0,1)$$ - Corte eje x: resolver $$x^2 + 2x + 1 = 0$$ $$ (x+1)^2 = 0 $$ $$ x = -1 $$ (raíz doble) - Punto cercano al vértice: $$x = -0.5$$ $$y(-0.5) = (-0.5)^2 + 2(-0.5) + 1 = 0.25 - 1 + 1 = 0.25$$ b) $$y = 0.5x^2 - 2x + 1$$ - Vértice: $$x = -\frac{-2}{2 \times 0.5} = 2$$ - $$y(2) = 0.5(2)^2 - 2(2) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$$ - Vértice: $$(2, -1)$$ - Corte eje y: $$y(0) = 1$$, punto: $$(0,1)$$ - Corte eje x: resolver $$0.5x^2 - 2x + 1 = 0$$ Multiplicamos por 2 para simplificar: $$x^2 - 4x + 2 = 0$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$$ - Punto cercano al vértice: $$x = 1.5$$ $$y(1.5) = 0.5(1.5)^2 - 2(1.5) + 1 = 1.125 - 3 + 1 = -0.875$$ c) $$y = -x^2 + 3x - 5$$ - Vértice: $$x = -\frac{3}{2 \times (-1)} = 1.5$$ - $$y(1.5) = -(1.5)^2 + 3(1.5) - 5 = -2.25 + 4.5 - 5 = -2.75$$ - Vértice: $$(1.5, -2.75)$$ - Corte eje y: $$y(0) = -5$$, punto: $$(0, -5)$$ - Corte eje x: resolver $$-x^2 + 3x - 5 = 0$$ Multiplicamos por -1: $$x^2 - 3x + 5 = 0$$ $$\Delta = (-3)^2 - 4(1)(5) = 9 - 20 = -11 < 0$$ No hay cortes reales con eje x. - Punto cercano al vértice: $$x = 1$$ $$y(1) = -1 + 3 - 5 = -3$$ d) $$y = -1.5x^2 - 3x - 2$$ - Vértice: $$x = -\frac{-3}{2 \times (-1.5)} = -\frac{-3}{-3} = -1$$ - $$y(-1) = -1.5(-1)^2 - 3(-1) - 2 = -1.5 + 3 - 2 = -0.5$$ - Vértice: $$(-1, -0.5)$$ - Corte eje y: $$y(0) = -2$$, punto: $$(0, -2)$$ - Corte eje x: resolver $$-1.5x^2 - 3x - 2 = 0$$ Multiplicamos por -1: $$1.5x^2 + 3x + 2 = 0$$ $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 12}}{3} = \frac{-3 \pm \sqrt{-3}}{3}$$ No hay cortes reales con eje x. - Punto cercano al vértice: $$x = -0.5$$ $$y(-0.5) = -1.5(0.25) - 3(-0.5) - 2 = -0.375 + 1.5 - 2 = -0.875$$ 4. Resumen: - a) Vértice (-1,0), corte eje y (0,1), corte eje x (-1,0) - b) Vértice (2,-1), corte eje y (0,1), cortes eje x $2 \pm \sqrt{2}$ - c) Vértice (1.5,-2.75), corte eje y (0,-5), sin cortes reales eje x - d) Vértice (-1,-0.5), corte eje y (0,-2), sin cortes reales eje x Cada parábola puede graficarse usando estos puntos para una representación precisa.