1. Problem: Nađi $m$ i $k$ u linearnoj funkciji $y = (3m + 2)x + 2k - m$ tako da je graf funkcije paralelan sa pravom $2x - y - 8 = 0$ i da je površina trougla koji graf pravi sa koordinatnim osama četiri puta manja od površine trougla koje pravi prava $2x - y - 8 = 0$ sa koordinatnim osama. 2. Prvo, izrazimo pravu $2x - y - 8 = 0$ u oblik $y = mx + b$: $$2x - y - 8 = 0 \implies y = 2x - 8$$ Nagib (koeficijent pravca) je $2$. 3. Za paralelnost dve prave, njihovi nagibi moraju biti jednaki. Dakle: $$3m + 2 = 2$$ Rešavamo za $m$: $$3m + 2 = 2 \implies 3m = 0 \implies m = 0$$ 4. Sada imamo funkciju: $$y = (3 \cdot 0 + 2)x + 2k - 0 = 2x + 2k$$ 5. Površina trougla koji prava pravi sa koordinatnim osama je: Za pravu $y = ax + b$, preseci sa osama su: - Na $x$ osi: $y=0 \implies 0 = ax + b \implies x = -\frac{b}{a}$ - Na $y$ osi: $x=0 \implies y = b$ Površina trougla je: $$S = \frac{1}{2} \times |x\text{-presek}| \times |y\text{-presek}| = \frac{1}{2} \times \left| -\frac{b}{a} \right| \times |b| = \frac{1}{2} \times \frac{|b|^2}{|a|}$$ 6. Za pravu $2x - y - 8 = 0$ ili $y = 2x - 8$, imamo $a=2$, $b=-8$. Površina trougla je: $$S_1 = \frac{1}{2} \times \frac{|-8|^2}{|2|} = \frac{1}{2} \times \frac{64}{2} = \frac{1}{2} \times 32 = 16$$ 7. Za funkciju $y = 2x + 2k$, $a=2$, $b=2k$. Površina trougla je: $$S_2 = \frac{1}{2} \times \frac{|2k|^2}{|2|} = \frac{1}{2} \times \frac{4k^2}{2} = \frac{1}{2} \times 2k^2 = k^2$$ 8. Po uslovu, površina trougla funkcije je četiri puta manja od površine trougla prave: $$S_2 = \frac{S_1}{4} \implies k^2 = \frac{16}{4} = 4$$ 9. Rešavamo za $k$: $$k^2 = 4 \implies k = \pm 2$$ 10. Rešenje: $$m = 0, \quad k = 2 \quad \text{ili} \quad k = -2$$ Dakle, funkcije su: $$y = 2x + 4 \quad \text{ili} \quad y = 2x - 4$$