1. **Énoncé du problème** : Étudier la parallélisme des expressions suivantes en fonction de $n$ : $$a = 4n + 6$$ $$b = 2n^2 + 4n + 7$$ $$c = n^2 - n + 3$$ $$d = (4n + 1)^2 - 16n^2 - 1$$ 2. **Analysons chaque expression** : - $a = 4n + 6$ est une expression linéaire en $n$. - $b = 2n^2 + 4n + 7$ est une expression quadratique en $n$. - $c = n^2 - n + 3$ est aussi une expression quadratique en $n$. - Pour $d$, développons et simplifions : $$d = (4n + 1)^2 - 16n^2 - 1 = (16n^2 + 8n + 1) - 16n^2 - 1 = 8n$$ 3. **Étude du parallélisme** : - Deux expressions sont parallèles si elles sont proportionnelles, c'est-à-dire si l'une est un multiple constant de l'autre. - $a = 4n + 6$ est linéaire, $d = 8n$ est aussi linéaire. - Vérifions si $a$ et $d$ sont proportionnels : $$\frac{a}{d} = \frac{4n + 6}{8n} = \frac{4n}{8n} + \frac{6}{8n} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4n}$$ Cette expression dépend de $n$, donc $a$ et $d$ ne sont pas proportionnels pour tout $n$. - $b$ et $c$ sont quadratiques. Vérifions si $b$ est un multiple de $c$ : $$\frac{b}{c} = \frac{2n^2 + 4n + 7}{n^2 - n + 3}$$ Cette fraction n'est pas constante en $n$, donc $b$ et $c$ ne sont pas proportionnels. - $a$ et $b$, $a$ et $c$, $b$ et $d$, $c$ et $d$ ne sont pas proportionnels car ils ont des degrés différents ou des formes différentes. 4. **Conclusion** : Aucune des expressions $a$, $b$, $c$, $d$ n'est parallèle à une autre, car aucune paire n'est proportionnelle pour tout $n$. **Réponse finale** : Les expressions $a$, $b$, $c$, et $d$ ne sont pas parallèles entre elles.