1. Énoncé : Soient $a$, $b$ impairs, déterminer la parité de : a. $3a$ b. $2b$ c. $2a + 3b$ d. $4a + 2b$ 2. Énoncé : Soient $a$ pair, $b$ impair, compléter le tableau de la parité de $au + bv$ selon $u$, $v$ pairs ou impairs. 3. Énoncé : Soient $a$, $b$ pairs, déterminer la condition sur $u$, $v$ pour que $au + bv$ soit pair. --- 1. 1. Rappel : un entier impair est de la forme $2k+1$, pair est $2k$. 2. a. $3a = 3 \times (2k+1) = 6k + 3 = 2(3k+1) + 1$ est impair. b. $2b = 2 \times (2m+1) = 4m + 2 = 2(2m+1)$ est pair. c. $2a + 3b = 2(2k+1) + 3(2m+1) = 4k + 2 + 6m + 3 = 4k + 6m + 5 = 2(2k + 3m + 2) + 1$ est impair. d. $4a + 2b = 4(2k+1) + 2(2m+1) = 8k + 4 + 4m + 2 = 8k + 4m + 6 = 2(4k + 2m + 3)$ est pair. 2. 1. $a$ pair donc $a = 2p$, $b$ impair donc $b = 2q + 1$. 2. Calculs pour chaque ligne : | u | v | au = a u | bv = b v | au + bv | |--------|---------|----------|----------|---------| | Pair | Pair | pair | pair | pair | | Pair | Impair | pair | impair | impair | | Impair | Pair | impair | pair | impair | | Impair | Impair | impair | impair | pair | Explications : - $au$ est pair si $u$ est pair (car $a$ pair), impair si $u$ impair. - $bv$ est pair si $v$ pair (car $b$ impair), impair si $v$ impair. - Somme de deux pairs est pair, somme pair + impair est impair, somme impair + impair est pair. 3. 1. $a$ et $b$ pairs donc $a=2r$, $b=2s$. 2. $au + bv = 2r u + 2s v = 2(r u + s v)$ est toujours pair, quelle que soit la parité de $u$ et $v$. --- Réponses finales : 1. a. impair b. pair c. impair d. pair 2. | u | v | au | bv | au + bv | |--------|---------|----|----|---------| | Pair | Pair | pair | pair | pair | | Pair | Impair | pair | impair | impair | | Impair | Pair | impair | pair | impair | | Impair | Impair | impair | impair | pair | Condition pour $au + bv$ pair : $u$ et $v$ ont même parité. 3. $au + bv$ est toujours pair pour tous $u$, $v$.