1. **Énoncé du problème :** On modélise une façade du Parthénon par un rectangle GREC avec les longueurs : $$GR = 2x + 7$$ $$GE = 2x - 3$$ avec $x \geq 12$. On donne deux expressions : $$A = (2x + 7)(2x - 3)$$ $$B = 2(2x + 7) + 2(2x - 3)$$ Nous devons : 1. Développer et réduire $A$. 2. Développer et réduire $B$. 3. Interpréter géométriquement $A$ et $B$. 4. Résoudre l'équation $A=0$. 5. Trouver $x$ tel que $GR$ soit le double de $GE$. --- 2. **Développement et réduction de $A$ :** $$A = (2x + 7)(2x - 3)$$ Utilisons la distributivité : $$A = 2x \times 2x + 2x \times (-3) + 7 \times 2x + 7 \times (-3)$$ $$A = 4x^2 - 6x + 14x - 21$$ $$A = 4x^2 + 8x - 21$$ --- 3. **Développement et réduction de $B$ :** $$B = 2(2x + 7) + 2(2x - 3)$$ $$B = 2 \times 2x + 2 \times 7 + 2 \times 2x + 2 \times (-3)$$ $$B = 4x + 14 + 4x - 6$$ $$B = 8x + 8$$ --- 4. **Interprétation géométrique :** - $A = (2x + 7)(2x - 3)$ représente l'aire du rectangle GREC car c'est la multiplication de la longueur par la largeur. - $B = 2(2x + 7) + 2(2x - 3)$ représente le périmètre du rectangle, somme des longueurs des quatre côtés. --- 5. **Résolution de l'équation $A=0$ :** $$ (2x + 7)(2x - 3) = 0 $$ Cette équation est nulle si et seulement si : $$2x + 7 = 0 \quad \text{ou} \quad 2x - 3 = 0$$ Résolvons chaque cas : $$2x + 7 = 0 \Rightarrow 2x = -7 \Rightarrow x = \frac{-7}{2} = -3.5$$ $$2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1.5$$ Mais on a $x \geq 12$, donc aucune solution dans l'intervalle donné. --- 6. **Déterminer $x$ pour que $GR$ soit le double de $GE$ :** On veut : $$GR = 2 \times GE$$ $$2x + 7 = 2(2x - 3)$$ Développons le membre de droite : $$2x + 7 = 4x - 6$$ Soustrayons $2x$ des deux côtés : $$\cancel{2x} + 7 = \cancel{4x} - 6 - 2x$$ $$7 = 2x - 6$$ Ajoutons 6 des deux côtés : $$7 + 6 = 2x$$ $$13 = 2x$$ Divisons par 2 : $$\frac{13}{2} = x$$ $$x = 6.5$$ Mais $x$ doit être supérieur ou égal à 12, donc cette valeur ne convient pas dans le contexte du problème. --- **Résumé final :** - $A = 4x^2 + 8x - 21$ - $B = 8x + 8$ - $A$ est l'aire du rectangle, $B$ son périmètre. - L'équation $A=0$ n'a pas de solution pour $x \geq 12$. - $GR$ ne peut pas être le double de $GE$ pour $x \geq 12$.