1. Bài toán yêu cầu tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn phương trình $$5x^2 - 32y = 193.$$\n\n2. Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng $$32y = 5x^2 - 193.$$\n\n3. Do $y$ là số nguyên, nên $5x^2 - 193$ phải chia hết cho 32.\n\n4. Xét điều kiện $$5x^2 \equiv 193 \pmod{32}.$$\n\n5. Ta tính $193 \mod 32$: $$193 = 32 \times 6 + 1 \Rightarrow 193 \equiv 1 \pmod{32}.$$\n\n6. Vậy ta cần $$5x^2 \equiv 1 \pmod{32}.$$\n\n7. Tìm $x$ sao cho $$5x^2 \equiv 1 \pmod{32}.$$\n\n8. Vì 5 và 32 là nguyên tố cùng nhau, ta nhân hai vế với nghịch đảo của 5 modulo 32. Nghịch đảo của 5 mod 32 là 13 vì $$5 \times 13 = 65 \equiv 1 \pmod{32}.$$\n\n9. Nhân hai vế với 13: $$x^2 \equiv 13 \times 1 = 13 \pmod{32}.$$\n\n10. Ta cần tìm $x$ sao cho $$x^2 \equiv 13 \pmod{32}.$$\n\n11. Thử các giá trị $x$ từ 0 đến 31 và tính $x^2 \mod 32$:\n- $0^2=0$\n- $1^2=1$\n- $2^2=4$\n- $3^2=9$\n- $4^2=16$\n- $5^2=25$\n- $6^2=36 \equiv 4$\n- $7^2=49 \equiv 17$\n- $8^2=64 \equiv 0$\n- $9^2=81 \equiv 17$\n- $10^2=100 \equiv 4$\n- $11^2=121 \equiv 25$\n- $12^2=144 \equiv 16$\n- $13^2=169 \equiv 9$\n- $14^2=196 \equiv 4$\n- $15^2=225 \equiv 1$\n- $16^2=256 \equiv 0$\n\nKhông có $x$ nào thỏa mãn $x^2 \equiv 13 \pmod{32}$.\n\n12. Vậy không tồn tại số nguyên $x$ sao cho $5x^2 - 193$ chia hết cho 32, do đó không có cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn phương trình ban đầu.