1. Bài toán yêu cầu tìm các số nguyên $x, y, z$ thỏa mãn phương trình $$x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz.$$ 2. Đây là một phương trình Diophantine, tức là ta tìm nghiệm nguyên. 3. Ta bắt đầu bằng cách phân tích và suy nghĩ về các giá trị có thể của $x, y, z$. 4. Vì vế trái là tổng các bình phương nên luôn không âm, vế phải là tích ba số nguyên nhân với 2. 5. Nếu một trong ba số $x, y, z$ bằng 0, ví dụ $z=0$, thì phương trình trở thành $$x^2 + y^2 = 0,$$ chỉ có nghiệm $x=0, y=0$. 6. Vậy một nghiệm là $(0,0,0)$. 7. Xét trường hợp không có số nào bằng 0. Ta có thể giả sử $x, y, z$ đều dương (vì bình phương nên dấu không ảnh hưởng đến vế trái, nhưng vế phải có dấu do tích). 8. Ta thử các giá trị nhỏ: - Với $x=y=z=1$, ta có $1+1+1=3$ và $2*1*1*1=2$, không thỏa. - Với $x=y=z=2$, ta có $4+4+4=12$ và $2*2*2*2=16$, không thỏa. 9. Ta thử $x=y=z=0$ đã có. 10. Xét trường hợp $x=y=z=k$, ta có $$3k^2 = 2k^3 \\ 3k^2 - 2k^3 = 0 \\ k^2(3 - 2k) = 0.$$ 11. Từ đó, $k=0$ hoặc $k=\frac{3}{2}$ (không phải số nguyên). Vậy nghiệm nguyên duy nhất dạng này là $k=0$. 12. Xét trường hợp $z=1$, phương trình trở thành $$x^2 + y^2 + 1 = 2xy.$$ 13. Chuyển vế: $$x^2 - 2xy + y^2 + 1 = 0 \\ (x - y)^2 + 1 = 0,$$ vô nghiệm nguyên. 14. Tương tự với $z=-1$, cũng vô nghiệm. 15. Xét trường hợp $z=2$, ta có $$x^2 + y^2 + 4 = 4xy.$$ 16. Chuyển vế: $$x^2 - 4xy + y^2 + 4 = 0.$$ 17. Xét như phương trình bậc hai theo $x$: $$x^2 - 4y x + (y^2 + 4) = 0.$$ 18. Để $x$ nguyên, biệt thức phải là số chính phương: $$\Delta = ( -4y)^2 - 4(y^2 + 4) = 16 y^2 - 4 y^2 - 16 = 12 y^2 - 16.$$ 19. Ta cần $12 y^2 - 16 = t^2$ với $t$ nguyên. 20. Thử các giá trị nhỏ của $y$: - $y=1$: $12 -16 = -4$ không phải số chính phương. - $y=2$: $48 -16=32$ không phải số chính phương. - $y=3$: $108 -16=92$ không phải số chính phương. 21. Không có giá trị $y$ nhỏ nào thỏa. 22. Tương tự với các giá trị khác của $z$ sẽ khó tìm nghiệm nguyên. 23. Kết luận nghiệm nguyên duy nhất là $(0,0,0)$.