1. **Bài 1: Giải các phương trình** a. Giải phương trình $\sqrt{x} - 2 = 1$. - Bước 1: Cộng 2 hai vế: $\sqrt{x} = 3$. - Bước 2: Bình phương hai vế: $x = 3^2 = 9$. - Bước 3: Kiểm tra điều kiện: $x \geq 0$, $9$ thỏa mãn. - Kết luận: $x = 9$. b. Giải phương trình $\sqrt{x} - 2 + \sqrt{4x - 8} + \sqrt{9x - 18} = \sqrt{25x - 50} + 9$. - Bước 1: Đặt $t = \sqrt{x} \geq 0$, ta có: $\sqrt{x} - 2 = t - 2$, $\sqrt{4x - 8} = \sqrt{4(t^2) - 8} = \sqrt{4t^2 - 8}$, $\sqrt{9x - 18} = \sqrt{9t^2 - 18}$, $\sqrt{25x - 50} = \sqrt{25t^2 - 50}$. - Bước 2: Viết lại phương trình: $t - 2 + \sqrt{4t^2 - 8} + \sqrt{9t^2 - 18} = \sqrt{25t^2 - 50} + 9$. - Bước 3: Nhận thấy $4t^2 - 8 = 4(t^2 - 2)$, $9t^2 - 18 = 9(t^2 - 2)$, $25t^2 - 50 = 25(t^2 - 2)$. - Bước 4: Đặt $m = t^2 - 2 \geq 0$ (điều kiện vì căn bậc hai). - Bước 5: Phương trình trở thành: $t - 2 + 2\sqrt{m} + 3\sqrt{m} = 5\sqrt{m} + 9$. - Bước 6: Gom các hạng tử: $t - 2 + 5\sqrt{m} = 5\sqrt{m} + 9$. - Bước 7: Rút gọn: $t - 2 = 9 \Rightarrow t = 11$. - Bước 8: Tính $x = t^2 = 11^2 = 121$. - Bước 9: Kiểm tra điều kiện: $m = t^2 - 2 = 121 - 2 = 119 \geq 0$ thỏa mãn. - Kết luận: $x = 121$. 2. **Bài 2: So sánh $A$ và $B$ với $A = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5} \cdot (3 + \sqrt{5})}{\sqrt{10} + \sqrt{2}}$ và $B = \sqrt{3} - \sqrt{5}$**. - Bước 1: Tính tử số của $A$: $\sqrt{3} - \sqrt{5}(3 + \sqrt{5}) = \sqrt{3} - 3\sqrt{5} - 5$. - Bước 2: Viết lại tử số: $\sqrt{3} - 3\sqrt{5} - 5$. - Bước 3: Tính mẫu số: $\sqrt{10} + \sqrt{2}$. - Bước 4: Nhân tử và mẫu với $\sqrt{10} - \sqrt{2}$ để hữu tỉ mẫu: $A = \frac{(\sqrt{3} - 3\sqrt{5} - 5)(\sqrt{10} - \sqrt{2})}{(\sqrt{10} + \sqrt{2})(\sqrt{10} - \sqrt{2})}$. - Bước 5: Mẫu số: $(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2 = 10 - 2 = 8$. - Bước 6: Tính tử số: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{10} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{10} + 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} - 5\sqrt{10} + 5\sqrt{2}$. - Bước 7: Rút gọn các căn: $\sqrt{30} - \sqrt{6} - 3\sqrt{50} + 3\sqrt{10} - 5\sqrt{10} + 5\sqrt{2}$. - Bước 8: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, thay vào: $\sqrt{30} - \sqrt{6} - 3 \cdot 5\sqrt{2} + 3\sqrt{10} - 5\sqrt{10} + 5\sqrt{2}$ $= \sqrt{30} - \sqrt{6} - 15\sqrt{2} + 3\sqrt{10} - 5\sqrt{10} + 5\sqrt{2}$. - Bước 9: Gom các hạng tử: $\sqrt{30} - \sqrt{6} + (3\sqrt{10} - 5\sqrt{10}) + (-15\sqrt{2} + 5\sqrt{2})$ $= \sqrt{30} - \sqrt{6} - 2\sqrt{10} - 10\sqrt{2}$. - Bước 10: Vậy: $A = \frac{\sqrt{30} - \sqrt{6} - 2\sqrt{10} - 10\sqrt{2}}{8}$. - Bước 11: So sánh $A$ và $B = \sqrt{3} - \sqrt{5}$ bằng cách xấp xỉ hoặc phân tích thêm. - Bước 12: Xấp xỉ: $\sqrt{3} \approx 1.732$, $\sqrt{5} \approx 2.236$, nên $B \approx -0.504$. $A$ xấp xỉ: $\sqrt{30} \approx 5.477$, $\sqrt{6} \approx 2.449$, $\sqrt{10} \approx 3.162$, $\sqrt{2} \approx 1.414$. Tử số $\approx 5.477 - 2.449 - 2 \times 3.162 - 10 \times 1.414 = 5.477 - 2.449 - 6.324 - 14.14 = -17.436$. $A \approx \frac{-17.436}{8} = -2.179$. - Bước 13: So sánh: $A \approx -2.179 < B \approx -0.504$. - Kết luận: $A < B$. 3. **Bài 3: Biểu thức $A = \left( \frac{2\sqrt{x} + x}{x\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) : \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1}$**. a. Tìm điều kiện xác định: - $\sqrt{x}$ xác định khi $x \geq 0$. - Mẫu số $x\sqrt{x} - 1 \neq 0$. - Mẫu số $\sqrt{x} - 1 \neq 0$. - Mẫu số $x + \sqrt{x} + 1 \neq 0$. - Bước 1: $x \geq 0$. - Bước 2: $x\sqrt{x} - 1 \neq 0 \Rightarrow x\sqrt{x} \neq 1$. - Bước 3: $\sqrt{x} - 1 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 1 \Rightarrow x \neq 1$. - Bước 4: $x + \sqrt{x} + 1 > 0$ với $x \geq 0$ luôn đúng. - Kết luận điều kiện: $x \geq 0$, $x\sqrt{x} \neq 1$, $x \neq 1$. b. Rút gọn biểu thức: - Bước 1: Đặt $t = \sqrt{x}$, $t \geq 0$. - Bước 2: Viết lại: $A = \left( \frac{2t + t^2}{t^3 - 1} - \frac{1}{t - 1} \right) : \frac{t + 2}{t^2 + t + 1}$. - Bước 3: Tìm mẫu chung trong ngoặc: $\frac{2t + t^2}{t^3 - 1} - \frac{1}{t - 1} = \frac{2t + t^2}{t^3 - 1} - \frac{1}{t - 1}$. - Bước 4: Nhận biết $t^3 - 1 = (t - 1)(t^2 + t + 1)$. - Bước 5: Viết lại: $\frac{2t + t^2}{(t - 1)(t^2 + t + 1)} - \frac{1}{t - 1} = \frac{2t + t^2}{(t - 1)(t^2 + t + 1)} - \frac{t^2 + t + 1}{(t - 1)(t^2 + t + 1)}$. - Bước 6: Gom lại: $\frac{2t + t^2 - (t^2 + t + 1)}{(t - 1)(t^2 + t + 1)} = \frac{2t + t^2 - t^2 - t - 1}{(t - 1)(t^2 + t + 1)} = \frac{t - 1}{(t - 1)(t^2 + t + 1)}$. - Bước 7: Rút gọn: $\frac{t - 1}{(t - 1)(t^2 + t + 1)} = \frac{1}{t^2 + t + 1}$, với $t \neq 1$. - Bước 8: Biểu thức $A$ trở thành: $A = \frac{1}{t^2 + t + 1} : \frac{t + 2}{t^2 + t + 1} = \frac{1}{t^2 + t + 1} \times \frac{t^2 + t + 1}{t + 2} = \frac{1}{t + 2}$. - Bước 9: Thay lại $t = \sqrt{x}$: $A = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$. c. Tính giá trị của $A$ tại $x = (\sqrt{5} - 2)^2$: - Bước 1: $\sqrt{x} = \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} = |\sqrt{5} - 2|$. - Bước 2: Vì $\sqrt{5} \approx 2.236 > 2$, nên $\sqrt{5} - 2 > 0$. - Bước 3: Vậy $\sqrt{x} = \sqrt{5} - 2$. - Bước 4: Thay vào biểu thức: $A = \frac{1}{(\sqrt{5} - 2) + 2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$. d. Tìm $x$ để $A = \frac{1}{5}$: - Bước 1: $\frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{5}$. - Bước 2: Nhân chéo: $5 = \sqrt{x} + 2$. - Bước 3: $\sqrt{x} = 3$. - Bước 4: Bình phương: $x = 9$. - Bước 5: Kiểm tra điều kiện: $x \geq 0$, $x\sqrt{x} = 9 \times 3 = 27 \neq 1$, $x \neq 1$. - Kết luận: $x = 9$ thỏa mãn. **Kết quả cuối cùng:** - Bài 1: a) $x=9$, b) $x=121$. - Bài 2: $A < B$. - Bài 3: a) $x \geq 0$, $x\sqrt{x} \neq 1$, $x \neq 1$. b) $A = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$. c) $A = \frac{1}{\sqrt{5}}$ tại $x = (\sqrt{5} - 2)^2$. d) $x = 9$ khi $A = \frac{1}{5}$.