1. نبدأ بكتابة المسألة: لدينا دالة قطعة معرفة كما يلي: $$ د(س) = \begin{cases} 4 & \text{إذا } س > 2 \\ 2^س & \text{إذا } -2 \leq س \leq 2 \end{cases} $$ ونريد إيجاد نهاية الدالة التالية: $$ \frac{س^3 - 7س + 6}{2س - 3 - 8س + 4} $$ 2. نبسط المقام أولاً: $$ 2س - 3 - 8س + 4 = (2س - 8س) + (-3 + 4) = -6س + 1 $$ 3. إذن الدالة التي نريد إيجاد نهايتها هي: $$ \frac{س^3 - 7س + 6}{-6س + 1} $$ 4. نبحث عن قيم س التي تجعل المقام صفرًا: $$ -6س + 1 = 0 \Rightarrow 6س = 1 \Rightarrow س = \frac{1}{6} $$ 5. نتحقق مما إذا كانت النهاية عند هذه النقطة أو عند حدود أخرى. لم يُحدد في السؤال نقطة النهاية، لذا نفترض أننا نريد النهاية عند نقطة معينة أو النهاية عند اللانهاية. 6. إذا أردنا النهاية عند $س = \frac{1}{6}$، نحاول التعويض مباشرة: البسط: $$ \left(\frac{1}{6}\right)^3 - 7 \times \frac{1}{6} + 6 = \frac{1}{216} - \frac{7}{6} + 6 = \frac{1}{216} - \frac{252}{216} + \frac{1296}{216} = \frac{1 - 252 + 1296}{216} = \frac{1045}{216} $$ المقام: $$ -6 \times \frac{1}{6} + 1 = -1 + 1 = 0 $$ 7. المقام صفر والبسط ليس صفرًا، إذن الدالة غير معرفة عند $س = \frac{1}{6}$، ولا توجد نهاية حقيقية عند هذه النقطة. 8. إذا أردنا النهاية عند اللانهاية، ندرس حدود الدالة: البسط من الدرجة 3 والمقام من الدرجة 1، إذن: $$ \lim_{س \to \infty} \frac{س^3 - 7س + 6}{-6س + 1} = \pm \infty $$ لأن البسط ينمو أسرع بكثير من المقام. 9. إذا أردنا النهاية عند $س = 2$ (نقطة تغير الدالة القطعية)، نستخدم تعريف الدالة القطعية: - من جهة اليسار ($س \to 2^-$): $$ د(2^-) = 2^2 = 4 $$ - من جهة اليمين ($س \to 2^+$): $$ د(2^+) = 4 $$ إذاً النهاية عند $س=2$ هي 4. 10. الخلاصة: - نهاية الدالة القطعية عند $س=2$ هي 4. - الدالة الكسرية غير معرفة عند $س=\frac{1}{6}$ ولا توجد نهاية حقيقية هناك. - النهاية عند اللانهاية للدالة الكسرية هي $\pm \infty$.