1. مسئله را بیان می‌کنیم: تابع چندضابطه‌ای داده شده است: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + a & x \geq a \\ 3x - a & x \leq a \end{cases}$$ که در آن $a \neq 0$ است. 2. هدف این است که بفهمیم نمودار تابع از کدام ناحیه‌های صفحه مختصات نمی‌گذرد: ناحیه اول، دوم، سوم یا چهارم. 3. ابتدا نقاط اتصال دو شاخه تابع را بررسی می‌کنیم. در $x = a$ مقدار تابع: $$f(a) = a^2 + a = 3a - a = 2a$$ 4. شاخه اول برای $x \geq a$ است و مقدار آن $x^2 + a$ است. چون $x^2 \geq 0$ همیشه، پس: $$f(x) = x^2 + a \geq a$$ 5. شاخه دوم برای $x \leq a$ است و مقدار آن $3x - a$ است که خطی است با شیب مثبت 3. 6. حال بررسی می‌کنیم که تابع در کدام نواحی صفحه مختصات (چهارم، سوم، دوم، اول) مقدارهای مثبت یا منفی دارد. 7. ناحیه اول: $x > 0$ و $y > 0$ - اگر $a > 0$، شاخه اول برای $x \geq a > 0$ است و چون $x^2 + a > 0$، تابع در ناحیه اول مقادیر مثبت دارد. - اگر $a < 0$، شاخه دوم برای $x \leq a < 0$ است و مقدار $3x - a$ ممکن است مثبت یا منفی باشد، اما شاخه اول برای $x \geq a$ که شامل مقادیر مثبت $x$ است، مقدار $x^2 + a$ ممکن است منفی باشد اگر $a$ منفی باشد و $x$ نزدیک به $a$ باشد. 8. ناحیه دوم: $x < 0$ و $y > 0$ - اگر $a > 0$، شاخه دوم برای $x \leq a > 0$ است که شامل مقادیر منفی $x$ نمی‌شود، پس تابع در ناحیه دوم نیست. - اگر $a < 0$، شاخه دوم برای $x \leq a < 0$ است و مقدار $3x - a$ را بررسی می‌کنیم. چون $x$ منفی و $a$ منفی است، مقدار ممکن است مثبت باشد. 9. ناحیه سوم: $x < 0$ و $y < 0$ - اگر $a > 0$، شاخه دوم برای $x \leq a > 0$ است، پس شامل $x < 0$ نمی‌شود. - اگر $a < 0$، شاخه دوم برای $x \leq a < 0$ است و مقدار $3x - a$ ممکن است منفی باشد. 10. ناحیه چهارم: $x > 0$ و $y < 0$ - شاخه اول برای $x \geq a$ است و مقدار $x^2 + a$ است که همیشه بزرگتر یا مساوی $a$ است. اگر $a > 0$، مقدار تابع مثبت است و در ناحیه چهارم که $y < 0$ است، تابع نیست. - اگر $a < 0$، مقدار $x^2 + a$ ممکن است منفی شود اگر $x^2 < |a|$ باشد، پس تابع ممکن است در ناحیه چهارم باشد. 11. نتیجه‌گیری: - اگر $a > 0$، تابع در ناحیه چهارم نیست. - اگر $a < 0$، تابع در ناحیه اول نیست. 12. اما سوال می‌پرسد نمودار تابع از کدام ناحیه نمی‌گذرد؟ با توجه به اینکه $a \neq 0$ و تابع در هر دو حالت $a > 0$ یا $a < 0$ وجود دارد، ناحیه‌ای که در هر دو حالت تابع از آن نمی‌گذرد ناحیه چهارم است. بنابراین پاسخ گزینه (۱) چهارم است.