1. **Énoncé du problème :** Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $M \in M_n(\mathbb{R})$. On définit les ensembles $$F = \{x \in \mathbb{R}^n \mid Mx = x\}$$ et $$G = \{x \in \mathbb{R}^n \mid Mx = 2x\}.$$ On doit montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels (sev) de $\mathbb{R}^n$, que leur intersection est $\{0\}$, et étudier les images itérées de $x$ par $M$ selon que $x \in F$ ou $x \in G$. Enfin, on précise $F$ et $G$ pour $M = I_n$ et $M = 0_{n,n}$. 2. **Formule et règles importantes :** - Un ensemble $V$ est un sev s'il est non vide, stable par addition et multiplication scalaire. - Pour $F$, $Mx = x$ signifie que $x$ est un vecteur propre de $M$ associé à la valeur propre $1$. - Pour $G$, $Mx = 2x$ signifie que $x$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $2$. 3. **Montrer que $F$ est un sev :** - $0 \in F$ car $M0 = 0 = 1 \times 0$. - Soient $x,y \in F$, alors $Mx = x$ et $My = y$. - Pour tout $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, $$M(\alpha x + \beta y) = \alpha Mx + \beta My = \alpha x + \beta y,$$ donc $\alpha x + \beta y \in F$. 4. **Montrer que $G$ est un sev :** - $0 \in G$ car $M0 = 0 = 2 \times 0$. - Soient $x,y \in G$, alors $Mx = 2x$ et $My = 2y$. - Pour tout $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, $$M(\alpha x + \beta y) = \alpha Mx + \beta My = 2(\alpha x + \beta y),$$ donc $\alpha x + \beta y \in G$. 5. **Montrer que $F \cap G = \{0\}$ :** - Soit $x \in F \cap G$, alors $Mx = x$ et $Mx = 2x$. - Donc $x = 2x \Rightarrow x = 0$. 6. **Calcul des images itérées :** - Si $x \in F$, alors $Mx = x$. - Par récurrence, $$M^2 x = M(Mx) = Mx = x,$$ $$M^3 x = M(M^2 x) = Mx = x,$$ et en général, $$M^p x = x, \quad \forall p \in \mathbb{N}.$$ - Si $x \in G$, alors $Mx = 2x$. - Par récurrence, $$M^2 x = M(Mx) = M(2x) = 2Mx = 2(2x) = 2^2 x,$$ $$M^3 x = M(M^2 x) = M(2^2 x) = 2^2 Mx = 2^2 (2x) = 2^3 x,$$ et en général, $$M^p x = 2^p x, \quad \forall p \in \mathbb{N}.$$ 7. **Cas $M = I_n$ :** - $F = \{x \mid I_n x = x\} = \mathbb{R}^n$. - $G = \{x \mid I_n x = 2x\} = \{0\}$ car $x = 2x \Rightarrow x=0$. 8. **Cas $M = 0_{n,n}$ :** - $F = \{x \mid 0 x = x\} = \{0\}$. - $G = \{x \mid 0 x = 2x\} = \{0\}$. **Réponse finale :** - $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^n$. - Leur intersection est $\{0\}$. - Pour $x \in F$, $M^p x = x$. - Pour $x \in G$, $M^p x = 2^p x$. - Si $M = I_n$, alors $F = \mathbb{R}^n$ et $G = \{0\}$. - Si $M = 0_{n,n}$, alors $F = G = \{0\}$.