1. **Énoncé du problème** : Trouver pour chaque parabole les points d'intersection avec les axes, l'axe de symétrie et le sommet. --- ### a) $f(x) = -2(x - 1)(x - 7)$ 2. **Points d'intersection avec l'axe des abscisses ($y=0$)** : On résout $f(x) = 0$ : $$-2(x - 1)(x - 7) = 0$$ Les racines sont $x=1$ et $x=7$. 3. **Point d'intersection avec l'axe des ordonnées ($x=0$)** : $$f(0) = -2(0 - 1)(0 - 7) = -2(-1)(-7) = -2 \times 7 = -14$$ Donc le point est $(0, -14)$. 4. **Axe de symétrie** : L'axe de symétrie est la droite verticale passant par le milieu des racines : $$x = \frac{1 + 7}{2} = 4$$ 5. **Sommet** : Le sommet est sur l'axe de symétrie, calculons $f(4)$ : $$f(4) = -2(4 - 1)(4 - 7) = -2(3)(-3) = -2 \times (-9) = 18$$ Le sommet est donc $(4, 18)$. --- ### b) $g(x) = x^2 + x - 6$ 6. **Points d'intersection avec l'axe des abscisses** : Résolvons $g(x) = 0$ : $$x^2 + x - 6 = 0$$ Factorisation : $$x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) = 0$$ Donc $x = -3$ ou $x = 2$. 7. **Point d'intersection avec l'axe des ordonnées** : $$g(0) = 0^2 + 0 - 6 = -6$$ Point $(0, -6)$. 8. **Axe de symétrie** : $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \times 1} = -\frac{1}{2}$$ 9. **Sommet** : Calculons $g(-\frac{1}{2})$ : $$g\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = -\frac{1}{4} - 6 = -\frac{25}{4} = -6.25$$ Sommet : $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{25}{4}\right)$. --- ### c) $k(x) = -(x - 2)^2 + 9$ 10. **Sommet** : Forme canonique $a(x - h)^2 + k$ avec $a = -1$, $h=2$, $k=9$. Sommet est $(2, 9)$. 11. **Axe de symétrie** : $$x = 2$$ 12. **Points d'intersection avec l'axe des abscisses** : Résolvons $k(x) = 0$ : $$-(x - 2)^2 + 9 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 9$$ $$x - 2 = \pm 3$$ $$x = 2 \pm 3$$ Donc $x = 5$ ou $x = -1$. 13. **Point d'intersection avec l'axe des ordonnées** : $$k(0) = -(0 - 2)^2 + 9 = -4 + 9 = 5$$ Point $(0, 5)$. --- ### d) $m(x) = \frac{x^2 - 15}{2}$ 14. **Points d'intersection avec l'axe des abscisses** : Résolvons $m(x) = 0$ : $$\frac{x^2 - 15}{2} = 0 \Rightarrow x^2 - 15 = 0$$ $$x^2 = 15$$ $$x = \pm \sqrt{15}$$ 15. **Point d'intersection avec l'axe des ordonnées** : $$m(0) = \frac{0 - 15}{2} = -\frac{15}{2} = -7.5$$ Point $(0, -7.5)$. 16. **Axe de symétrie** : Parabole centrée en $x=0$ car pas de terme en $x$. $$x = 0$$ 17. **Sommet** : Le sommet est au minimum, en $x=0$ : $$m(0) = -7.5$$ Sommet $(0, -7.5)$. --- **Résumé** : - a) Intersections: $(1,0)$, $(7,0)$, $(0,-14)$; Axe: $x=4$; Sommet: $(4,18)$ - b) Intersections: $(-3,0)$, $(2,0)$, $(0,-6)$; Axe: $x=-\frac{1}{2}$; Sommet: $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{25}{4}\right)$ - c) Intersections: $(5,0)$, $(-1,0)$, $(0,5)$; Axe: $x=2$; Sommet: $(2,9)$ - d) Intersections: $(\pm \sqrt{15},0)$, $(0,-7.5)$; Axe: $x=0$; Sommet: $(0,-7.5)$