1. Problema: Sumar y restar los polinomios dados. 2. Fórmulas y reglas importantes: - Para sumar o restar polinomios, sumamos o restamos los coeficientes de los términos con la misma potencia de $x$. - Si un término no tiene un par correspondiente en otro polinomio, se mantiene igual. 3. Polinomios dados: $$M(x) = 3x^3 + 4x^2 - 5x + 13$$ $$N(x) = x^4 - 3x^2 - 2$$ $$R(x) = x^3 + 2x^2 - 3x - 10$$ $$Q(x) = 5x^4 + 3x^3 + 5$$ $$P(x) = 7x^3 + x^3 - x + 2 = 8x^3 - x + 2$$ 4. Resolver cada operación: **1) $M(x) + R(x) + P(x)$** Sumamos término a término: - $x^4$: no hay en $M$ ni $R$, ni $P$, queda $0$ - $x^3$: $3x^3 + x^3 + 8x^3 = 12x^3$ - $x^2$: $4x^2 + 2x^2 + 0 = 6x^2$ - $x$: $-5x - 3x - x = -9x$ - Constantes: $13 - 10 + 2 = 5$ Resultado: $$12x^3 + 6x^2 - 9x + 5$$ **2) $N(x) + R(x) - Q(x)$** Sumamos y restamos término a término: - $x^4$: $x^4 + 0 - 5x^4 = \cancel{1x^4} - 5x^4 = -4x^4$ - $x^3$: $0 + x^3 - 3x^3 = \cancel{1x^3} - 3x^3 = -2x^3$ - $x^2$: $-3x^2 + 2x^2 - 0 = -x^2$ - $x$: $0 - 3x - 0 = -3x$ - Constantes: $-2 - 10 - 5 = -17$ Resultado: $$-4x^4 - 2x^3 - x^2 - 3x - 17$$ **3) $R(x) + M(x) - P(x)$** Sumamos y restamos término a término: - $x^4$: $0 + 0 - 0 = 0$ - $x^3$: $x^3 + 3x^3 - 8x^3 = \cancel{4x^3} - 8x^3 = -4x^3$ - $x^2$: $2x^2 + 4x^2 - 0 = 6x^2$ - $x$: $-3x - 5x - (-x) = -8x + x = -7x$ - Constantes: $-10 + 13 - 2 = 1$ Resultado: $$-4x^3 + 6x^2 - 7x + 1$$ **4) $R(x) + Q(x) - M(x)$** Sumamos y restamos término a término: - $x^4$: $0 + 5x^4 - 0 = 5x^4$ - $x^3$: $x^3 + 3x^3 - 3x^3 = \cancel{4x^3} - 3x^3 = x^3$ - $x^2$: $2x^2 + 0 - 4x^2 = \cancel{2x^2} - 4x^2 = -2x^2$ - $x$: $-3x + 0 - (-5x) = -3x + 5x = 2x$ - Constantes: $-10 + 5 - 13 = -18$ Resultado: $$5x^4 + x^3 - 2x^2 + 2x - 18$$ **5) $Q(x) + R(x) + M(x)$** Sumamos término a término: - $x^4$: $5x^4 + 0 + 0 = 5x^4$ - $x^3$: $3x^3 + x^3 + 3x^3 = 7x^3$ - $x^2$: $0 + 2x^2 + 4x^2 = 6x^2$ - $x$: $0 - 3x - 5x = -8x$ - Constantes: $5 - 10 + 13 = 8$ Resultado: $$5x^4 + 7x^3 + 6x^2 - 8x + 8$$