1. **Problem statement for 4.60:** Vis at $(x - 1)$ er en faktor i $P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$. 2. **Sjekk om $(x - 1)$ er en faktor ved å bruke polynomdivisjon eller sette $x=1$ i $P(x)$:** $$P(1) = 1^3 + 4 \cdot 1^2 + 1 - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$$ Siden $P(1) = 0$, er $(x - 1)$ en faktor. 3. **Faktoriser $P(x)$ ved polynomdivisjon:** Del $P(x)$ på $(x - 1)$: $$\frac{x^3 + 4x^2 + x - 6}{x - 1}$$ 4. Utfør polynomdivisjonen: $$x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x - 1)(x^2 + 5x + 6)$$ 5. Faktoriser kvadratpolynomet: $$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$$ 6. **Endelig faktorform:** $$P(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 3)$$ --- 7. **Problem statement for 4.64 a:** Forkort uttrykket: $$\frac{x^3 - 2x + 4}{x^2 - 4}$$ 8. Faktoriser nevneren: $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ 9. Prøv å faktoriser telleren $x^3 - 2x + 4$. Dette er ikke lett å faktorisere enkelt uten hjelpemiddel, men vi kan prøve å dele på $(x - 2)$ eller $(x + 2)$ for å se om det går opp. 10. Sjekk $x=2$ i telleren: $$2^3 - 2 \cdot 2 + 4 = 8 - 4 + 4 = 8 \neq 0$$ 11. Sjekk $x=-2$ i telleren: $$(-2)^3 - 2 \cdot (-2) + 4 = -8 + 4 + 4 = 0$$ 12. Siden $x = -2$ er en rot, $(x + 2)$ er en faktor i telleren. 13. Del telleren på $(x + 2)$: $$\frac{x^3 - 2x + 4}{x + 2} = x^2 - 2x + 2$$ 14. Skriv uttrykket som: $$\frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$$ 15. Forkort $(x + 2)$ i teller og nevner: $$\frac{\cancel{(x + 2)}(x^2 - 2x + 2)}{(x - 2)\cancel{(x + 2)}} = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 2}$$ 16. **Endelig forkortet uttrykk:** $$\frac{x^2 - 2x + 2}{x - 2}$$