1. Das Problem lautet: Faktorisiere die Gleichung $$0=5x^4-198x^2+800$$. 2. Wir erkennen, dass es sich um ein Polynom vierten Grades handelt, das nur gerade Potenzen von $x$ enthält. Wir substituieren $y=x^2$, um es als quadratische Gleichung in $y$ zu schreiben: $$0=5y^2-198y+800$$ 3. Wir verwenden die Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel) für $ay^2+by+c=0$: $$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ 4. Setze $a=5$, $b=-198$, $c=800$ ein: $$y=\frac{-(-198)\pm\sqrt{(-198)^2-4\cdot5\cdot800}}{2\cdot5} = \frac{198\pm\sqrt{39204-16000}}{10} = \frac{198\pm\sqrt{23204}}{10}$$ 5. Berechne die Wurzel: $$\sqrt{23204} = 152.33$$ (gerundet) 6. Die zwei Lösungen für $y$ sind: $$y_1=\frac{198+152.33}{10} = \frac{350.33}{10} = 35.033$$ $$y_2=\frac{198-152.33}{10} = \frac{45.67}{10} = 4.567$$ 7. Ersetze $y=x^2$ zurück und löse für $x$: $$x^2=35.033 \Rightarrow x=\pm\sqrt{35.033} = \pm5.92$$ $$x^2=4.567 \Rightarrow x=\pm\sqrt{4.567} = \pm2.14$$ 8. Die Faktoren sind daher: $$(x-5.92)(x+5.92)(x-2.14)(x+2.14)$$ 9. Da wir den Faktor 5 vor dem ursprünglichen Polynom hatten, schreiben wir die vollständige Faktorisierung: $$5(x-5.92)(x+5.92)(x-2.14)(x+2.14)$$ Das ist die faktorisierte Form von $$5x^4-198x^2+800=0$$.