1. Énonçons le problème : Trouver le polynôme $A(x)$ tel que pour toute valeur de $x$ où les fractions sont définies, on ait $$\frac{A(x)}{3x} \times \frac{3x + 3}{x^2 - 2x - 3} = 1$$ 2. Rappelons la règle importante : pour que le produit de deux fractions soit égal à 1, le numérateur du produit doit être égal au dénominateur du produit. 3. Factorisons les expressions où c'est possible : - $3x + 3 = 3(x + 1)$ - $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$ 4. Réécrivons l'équation avec ces facteurs : $$\frac{A(x)}{3x} \times \frac{3(x + 1)}{(x - 3)(x + 1)} = 1$$ 5. Simplifions la fraction en annulant le facteur commun $(x + 1)$ : $$\frac{A(x)}{3x} \times \frac{3\cancel{(x + 1)}}{(x - 3)\cancel{(x + 1)}} = \frac{A(x)}{3x} \times \frac{3}{x - 3} = 1$$ 6. Multiplions les fractions : $$\frac{A(x) \times 3}{3x (x - 3)} = 1$$ 7. Simplifions le facteur 3 au numérateur et au dénominateur : $$\frac{\cancel{3} A(x)}{3 \cancel{3} x (x - 3)} = \frac{A(x)}{x (x - 3)} = 1$$ 8. Pour que cette fraction soit égale à 1, il faut que : $$A(x) = x (x - 3)$$ 9. Développons $A(x)$ : $$A(x) = x^2 - 3x$$ Réponse finale : $$A(x) = x^2 - 3x$$