1. Énonçons le problème : On cherche à vérifier le calcul du polynôme caractéristique $\chi_A(\lambda)$ de la matrice symétrique donnée et à comprendre pourquoi le résultat ne correspond pas à la semi-négativité attendue. 2. La matrice est $$ A = \begin{pmatrix} -5 & 1 & -2 \\ 1 & -5 & -2 \\ -2 & -2 & -2 \end{pmatrix} $$ 3. Le polynôme caractéristique est défini par $$ \chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} -5-\lambda & 1 & -2 \\ 1 & -5-\lambda & -2 \\ -2 & -2 & -2-\lambda \end{pmatrix} $$ 4. Calculons ce déterminant par développement selon la première ligne : $$ \chi_A(\lambda) = (-5-\lambda) \cdot \det \begin{pmatrix} -5-\lambda & -2 \\ -2 & -2-\lambda \end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -2-\lambda \end{pmatrix} + (-2) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & -5-\lambda \\ -2 & -2 \end{pmatrix} $$ 5. Calculons chaque mineur : - Premier mineur : $$ (-5-\lambda)(-2-\lambda) - (-2)(-2) = (-5-\lambda)(-2-\lambda) - 4 $$ - Deuxième mineur : $$ 1 \cdot (-2-\lambda) - (-2)(-2) = (-2-\lambda) - 4 = -6 - \lambda $$ - Troisième mineur : $$ 1 \cdot (-2) - (-2)(-5-\lambda) = -2 - 2(5+\lambda) = -2 - 10 - 2\lambda = -12 - 2\lambda $$ 6. Substituons dans le déterminant : $$ \chi_A(\lambda) = (-5-\lambda)((-5-\lambda)(-2-\lambda) - 4) - 1(-6 - \lambda) + (-2)(-12 - 2\lambda) $$ 7. Développons le produit : $$ (-5-\lambda)(-2-\lambda) = 10 + 5\lambda + 2\lambda + \lambda^2 = 10 + 7\lambda + \lambda^2 $$ 8. Donc : $$ (-5-\lambda)((-5-\lambda)(-2-\lambda) - 4) = (-5-\lambda)(10 + 7\lambda + \lambda^2 - 4) = (-5-\lambda)(6 + 7\lambda + \lambda^2) $$ 9. Développons : $$ (-5)(6 + 7\lambda + \lambda^2) - \lambda(6 + 7\lambda + \lambda^2) = -30 - 35\lambda - 5\lambda^2 - 6\lambda - 7\lambda^2 - \lambda^3 $$ 10. Regroupons les termes : $$ -30 - 41\lambda - 12\lambda^2 - \lambda^3 $$ 11. Maintenant, ajoutons les autres termes : $$ \chi_A(\lambda) = (-30 - 41\lambda - 12\lambda^2 - \lambda^3) - (-6 - \lambda) + (-2)(-12 - 2\lambda) $$ $$ = -30 - 41\lambda - 12\lambda^2 - \lambda^3 + 6 + \lambda + 24 + 4\lambda $$ 12. Simplifions : $$ (-30 + 6 + 24) + (-41\lambda + \lambda + 4\lambda) - 12\lambda^2 - \lambda^3 = 0 - 36\lambda - 12\lambda^2 - \lambda^3 $$ 13. Réécrivons dans l'ordre décroissant des puissances : $$ \chi_A(\lambda) = -\lambda^3 - 12\lambda^2 - 36\lambda $$ 14. Factorisons : $$ \chi_A(\lambda) = -\lambda(\lambda^2 + 12\lambda + 36) = -\lambda(\lambda + 6)^2 $$ 15. Conclusion : - Les valeurs propres sont $\lambda = 0$ et $\lambda = -6$ (double). - La matrice a une valeur propre nulle et deux valeurs propres négatives, ce qui correspond à une forme semi-négative. 16. Votre erreur vient d'une erreur dans le calcul du déterminant, notamment dans le développement et la simplification des termes. 17. En résumé, le polynôme caractéristique correct est $$ \chi_A(\lambda) = -\lambda(\lambda + 6)^2 $$ ce qui confirme la semi-négativité de la forme quadratique associée.