1. **Énoncé du problème :** Calculer la valeur de $P(3)$ pour le polynôme $$P(x) = x^3 - (4 + \sqrt{3})x^2 + (3 + 4\sqrt{3})x - 3\sqrt{3}$$ 2. **Formule utilisée :** Pour calculer $P(3)$, on remplace $x$ par 3 dans l'expression de $P(x)$ : $$P(3) = 3^3 - (4 + \sqrt{3})3^2 + (3 + 4\sqrt{3})3 - 3\sqrt{3}$$ 3. **Calcul intermédiaire :** Calculons chaque terme : - $3^3 = 27$ - $3^2 = 9$ Donc : $$P(3) = 27 - (4 + \sqrt{3}) \times 9 + (3 + 4\sqrt{3}) \times 3 - 3\sqrt{3}$$ 4. **Développons les produits :** $$P(3) = 27 - 9(4 + \sqrt{3}) + 3(3 + 4\sqrt{3}) - 3\sqrt{3}$$ $$= 27 - (36 + 9\sqrt{3}) + (9 + 12\sqrt{3}) - 3\sqrt{3}$$ 5. **Simplifions en regroupant les termes constants et les termes avec $\sqrt{3}$ :** Constantes : $27 - 36 + 9 = 0$ Termes avec $\sqrt{3}$ : $-9\sqrt{3} + 12\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0$ 6. **Conclusion :** $$P(3) = 0$$ Donc, la valeur de $P(3)$ est 0. --- 1. **Énoncé du problème :** Montrer que $P(x)$ est divisible par $(x - 3)$. 2. **Rappel important :** Un polynôme $P(x)$ est divisible par $(x - a)$ si et seulement si $P(a) = 0$. 3. **Application :** Nous avons calculé précédemment que $P(3) = 0$. 4. **Conclusion :** Donc, $P(x)$ est divisible par $(x - 3)$. --- 1. **Énoncé du problème :** On pose $P(x) = (x - 3)Q(x)$. 2. **a) Déterminer le degré de $Q(x)$ :** Le degré de $P(x)$ est 3. Le degré de $(x - 3)$ est 1. Donc, le degré de $Q(x)$ est $3 - 1 = 2$. 3. **b) Déterminer l'expression de $Q(x)$ :** Effectuons la division de $P(x)$ par $(x - 3)$. Posons : $$Q(x) = ax^2 + bx + c$$ On a : $$(x - 3)(ax^2 + bx + c) = x^3 - (4 + \sqrt{3})x^2 + (3 + 4\sqrt{3})x - 3\sqrt{3}$$ Développons le produit : $$ax^3 + bx^2 + cx - 3ax^2 - 3bx - 3c = x^3 - (4 + \sqrt{3})x^2 + (3 + 4\sqrt{3})x - 3\sqrt{3}$$ Regroupons par puissances de $x$ : $$ax^3 + (b - 3a)x^2 + (c - 3b)x - 3c = x^3 - (4 + \sqrt{3})x^2 + (3 + 4\sqrt{3})x - 3\sqrt{3}$$ Égalons les coefficients : - Coefficient de $x^3$ : $a = 1$ - Coefficient de $x^2$ : $b - 3a = -(4 + \sqrt{3})$ donc $b - 3 = -(4 + \sqrt{3})$ donc $b = -1 - \sqrt{3}$ - Coefficient de $x$ : $c - 3b = 3 + 4\sqrt{3}$ donc $c - 3(-1 - \sqrt{3}) = 3 + 4\sqrt{3}$ donc $c + 3 + 3\sqrt{3} = 3 + 4\sqrt{3}$ donc $c = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$ - Terme constant : $-3c = -3\sqrt{3}$ ce qui est cohérent. 4. **Conclusion :** $$Q(x) = x^2 + (-1 - \sqrt{3})x + \sqrt{3}$$