1. Énoncé du problème : On considère le polynôme $$P(x) = x^3 - (4 + \sqrt{3})x^2 + (3 + 4\sqrt{3})x - 3\sqrt{3}$$. 2. Calculer $$P(3)$$ : $$P(3) = 3^3 - (4 + \sqrt{3})3^2 + (3 + 4\sqrt{3})3 - 3\sqrt{3}$$ $$= 27 - (4 + \sqrt{3})9 + 3(3 + 4\sqrt{3}) - 3\sqrt{3}$$ $$= 27 - 36 - 9\sqrt{3} + 9 + 12\sqrt{3} - 3\sqrt{3}$$ $$= (27 - 36 + 9) + (-9\sqrt{3} + 12\sqrt{3} - 3\sqrt{3})$$ $$= 0 + 0 = 0$$ 3. Montrer que $$P(x)$$ est divisible par $$(x - 3)$$ : Puisque $$P(3) = 0$$, par le théorème du reste, $$(x - 3)$$ est un facteur de $$P(x)$$. 4. On pose $$P(x) = (x - 3)Q(x)$$. (a) Le degré de $$Q(x)$$ est le degré de $$P(x)$$ moins 1, donc $$\deg(Q) = 3 - 1 = 2$$. (b) Pour déterminer $$Q(x)$$, on effectue la division euclidienne de $$P(x)$$ par $$(x - 3)$$ : Divisons : $$\frac{P(x)}{x-3} = Q(x) = ax^2 + bx + c$$ Posons $$Q(x) = ax^2 + bx + c$$ et multiplions : $$(x - 3)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx - 3ax^2 - 3bx - 3c$$ $$= ax^3 + (b - 3a)x^2 + (c - 3b)x - 3c$$ Égalons les coefficients avec ceux de $$P(x)$$ : $$a = 1$$ $$b - 3a = -(4 + \sqrt{3}) \Rightarrow b - 3 = -(4 + \sqrt{3}) \Rightarrow b = -1 - \sqrt{3}$$ $$c - 3b = 3 + 4\sqrt{3} \Rightarrow c - 3(-1 - \sqrt{3}) = 3 + 4\sqrt{3} \Rightarrow c + 3 + 3\sqrt{3} = 3 + 4\sqrt{3}$$ $$c = 3 + 4\sqrt{3} - 3 - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$$ $$-3c = -3\sqrt{3}$$ correspond au terme constant de $$P(x)$$, ce qui est correct. Donc : $$Q(x) = x^2 + (-1 - \sqrt{3})x + \sqrt{3}$$ Réponse finale : $$P(3) = 0$$ $$(x - 3)$$ divise $$P(x)$$ $$Q(x) = x^2 - (1 + \sqrt{3})x + \sqrt{3}$$ avec $$\deg(Q) = 2$$.