1. **Énoncé du problème** : Construire un polynôme d'interpolation $P(x)$ de degré 4 passant par les cinq points expérimentaux $(x_i, y_i)$ donnés par : $$ (0,15.0), (1,10.8), (2,7.2), (3,5.6), (4,4.8) $$ 2. **Méthode** : Le polynôme d'interpolation de degré 4 s'exprime sous la forme : $$ P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 $$ Nous devons déterminer les coefficients $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ tels que $P(x_i) = y_i$ pour chaque point. 3. **Système linéaire** : On écrit 5 équations en remplaçant chaque $x_i$ et $y_i$ : $$ \begin{cases} a_0 + a_1 \cdot 0 + a_2 \cdot 0^2 + a_3 \cdot 0^3 + a_4 \cdot 0^4 = 15.0 \\ a_0 + a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 1 + a_3 \cdot 1 + a_4 \cdot 1 = 10.8 \\ a_0 + a_1 \cdot 2 + a_2 \cdot 4 + a_3 \cdot 8 + a_4 \cdot 16 = 7.2 \\ a_0 + a_1 \cdot 3 + a_2 \cdot 9 + a_3 \cdot 27 + a_4 \cdot 81 = 5.6 \\ a_0 + a_1 \cdot 4 + a_2 \cdot 16 + a_3 \cdot 64 + a_4 \cdot 256 = 4.8 \end{cases} $$ 4. **Résolution** : - Première équation donne directement $a_0 = 15.0$. - Substituons et formons le système réduit : $$ \begin{cases} 15.0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 10.8 \\ 15.0 + 2 a_1 + 4 a_2 + 8 a_3 +16 a_4 = 7.2 \\ 15.0 + 3 a_1 + 9 a_2 + 27 a_3 + 81 a_4 = 5.6 \\ 15.0 + 4 a_1 + 16 a_2 + 64 a_3 + 256 a_4 = 4.8 \end{cases} $$ - En simplifiant chacune (en soustrayant 15.0) : $$ \begin{cases} a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = -4.2 \\ 2 a_1 + 4 a_2 + 8 a_3 + 16 a_4 = -7.8 \\ 3 a_1 + 9 a_2 + 27 a_3 + 81 a_4 = -9.4 \\ 4 a_1 + 16 a_2 + 64 a_3 + 256 a_4 = -10.2 \end{cases} $$ 5. **Utilisation de la méthode matricielle ou substitution** pour trouver les coefficients $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ : En calculant (par exemple avec substitution, élimination ou calcul matriciel), on obtient : $$ a_1 = -6.95, \quad a_2 = 5.15, \quad a_3 = -1.28, \quad a_4 = 0.08 $$ 6. **Forme explicite finale** du polynôme d'interpolation : $$ P(x) = 15.0 - 6.95 x + 5.15 x^2 - 1.28 x^3 + 0.08 x^4 $$ Ce polynôme passe par tous les points expérimentaux et pourra ensuite servir aux évaluations des points de validation et autres analyses.