1. Das Problem lautet: Löse die Polynomgleichung. 2. Um eine Polynomgleichung zu lösen, sucht man die Werte von $x$, für die das Polynom den Wert 0 annimmt, also $P(x) = 0$. 3. Die allgemeine Vorgehensweise ist: - Faktorisieren des Polynoms, falls möglich. - Anwenden des Satzes vom Nullprodukt: Wenn $a \cdot b = 0$, dann ist $a=0$ oder $b=0$. 4. Beispiel: Für die Gleichung $x^2 - 5x + 6 = 0$ faktorisieren wir: $$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$ 5. Setze jeden Faktor gleich Null: $$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$ $$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$ 6. Die Lösungen der Polynomgleichung sind also $x=2$ und $x=3$. 7. Falls das Polynom nicht leicht faktorisierbar ist, kann man die Mitternachtsformel (quadratische Lösungsformel) verwenden: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ für eine Gleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$. 8. Wichtig: - Die Diskriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ entscheidet über die Anzahl der reellen Lösungen. - Wenn $\Delta > 0$, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. - Wenn $\Delta = 0$, gibt es eine doppelte reelle Lösung. - Wenn $\Delta < 0$, gibt es keine reellen Lösungen, sondern komplexe. Dies ist die grundlegende Methode zum Lösen von Polynomgleichungen.