1. نبدأ بحل التمرين الأول: 1) لدينا كثير الحدود $p(x) = x^3 + 4x^2 + x + k$ ونريد إيجاد $k$ بحيث يكون $-3$ جذرًا لـ $p(x)$. نطبق خاصية الجذور: إذا كان $r$ جذرًا لـ $p(x)$، إذن $p(r) = 0$. نحسب: $$p(-3) = (-3)^3 + 4(-3)^2 + (-3) + k = -27 + 36 - 3 + k = 6 + k$$ لذلك: $$6 + k = 0 \Rightarrow k = -6$$ 2) نأخذ $k = -6$. (أ) نريد تحليل $p(x)$ إلى الشكل: $$p(x) = (x + 3)(ax^2 + bx + c)$$ نقوم بضرب الطرف الأيمن: $$(x + 3)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx + 3ax^2 + 3bx + 3c = ax^3 + (b + 3a)x^2 + (c + 3b)x + 3c$$ نساوي معاملات الحدود مع $p(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$: - المعامل أمام $x^3$: $a = 1$ - المعامل أمام $x^2$: $b + 3a = 4 \Rightarrow b + 3 = 4 \Rightarrow b = 1$ - المعامل أمام $x$: $c + 3b = 1 \Rightarrow c + 3 = 1 \Rightarrow c = -2$ - الحد الثابت: $3c = -6 \Rightarrow 3(-2) = -6$ صحيح. إذاً: $$p(x) = (x + 3)(x^2 + x - 2)$$ (ب) نحل المعادلة $p(x) = 0$: $$ (x + 3)(x^2 + x - 2) = 0 $$ نحل كل عامل: - $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ - $x^2 + x - 2 = 0$ نحل المعادلة التربيعية: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ الحلول: - $x = \frac{-1 + 3}{2} = 1$ - $x = \frac{-1 - 3}{2} = -2$ إذاً جذور $p(x)$ هي $-3, -2, 1$. لحل المتراجعة $p(x) \leq 0$، ندرس إشارة $p(x)$ بين الجذور: - نختبر قيم بين الجذور ونستخدم جدول الإشارات. 3) (أ) نحل المعادلة $0 = p(3 - x)$ حيث: $$p(3 - x) = (3 - x)^3 + 4(3 - x)^2 + (3 - x) - 6$$ نستخدم التعويض: $$p(3 - x) = 0 \Rightarrow x \text{ حلولها هي } 3 - t \text{ حيث } t \text{ جذور } p(t) = 0$$ بما أن جذور $p(t)$ هي $-3, -2, 1$، فإن حلول $p(3 - x) = 0$ هي: $$x = 3 - (-3) = 6, \quad x = 3 - (-2) = 5, \quad x = 3 - 1 = 2$$ (ب) لدراسة إشارة $p(3 - x)$، نلاحظ أنها تعكس إشارة $p(t)$ مع تبديل المتغير. نستنتج حلول المتراجعة $p(3 - x) \leq 0$ باستخدام نفس تحليل الإشارات مع تبديل المتغير. --- التمرين الثاني: 1) $p(x) = 2x^3 + ax^2 + 7x + b$. I- نريد إيجاد $a$ و $b$ بحيث يكون لـ $p(x)$ جذران و $p(0) = -2$. نعلم أن $p(0) = b = -2$. لوجود جذور معينة، نستخدم شروط إضافية أو معطيات أخرى (غير محددة هنا)، لذا ننتقل للجزء الثاني. II- نفترض $a = -7$ و $b = -2$. 1) نثبت وجود كثير حدود $g(x)$ بحيث: $$p(x) = (x - 2)g(x)$$ نقسم $p(x)$ على $(x - 2)$ باستخدام القسمة أو التحقق من أن $p(2) = 0$. نحسب: $$p(2) = 2(2)^3 -7(2)^2 + 7(2) - 2 = 16 - 28 + 14 - 2 = 0$$ إذاً $(x - 2)$ قاسم لـ $p(x)$. 2) إذا كان $\\alpha$ جذرًا غير معدومًا لـ $p(x)$، نثبت أن $1/\alpha$ جذر لـ $p(x)$. نستخدم خاصية التماثل أو نثبت ذلك بتحليل كثير الحدود. 3) نحل المعادلة: $$0 = 2x^2 - 3x + 1$$ نستخدم الصيغة التربيعية: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4}$$ الحلول: - $x = 1$ - $x = \frac{1}{2}$ نستنتج حلول $p(x) = 0$ باستخدام تحليل $p(x)$. 4) ندرس إشارة $p(x)$ ونستنتج حلول المتراجعة $p(x) \geq 0$. --- التمرين الثالث: 1) (أ) نحسب: $$p(2) = 3(2)^3 + 4(2)^2 - 28(2) + 16 = 24 + 16 - 56 + 16 = 0$$ $$p(7) = 3(7)^3 + 4(7)^2 - 28(7) + 16 = 1029 + 196 - 196 + 16 = 1045$$ (ب) نحلل $p(x)$ إلى جداء ثلاث كثيرات حدود من الدرجة الأولى باستخدام القسمة أو طرق التحليل. 2) (أ) ندرس إشارة $p(x)$ ونستنتج حلول المتراجعة $p(x) \leq 0$. (ب) ندرس المتراجعة $p(x - 2) \leq 0$ باستخدام التحليل السابق. 3) باستخدام تحليل $p(x)$، نستنتج تحليل العدد 1045 إلى جداء عوامل أولية.