1. نبدأ بتعريف كثيرة الحدود: كثيرة الحدود هي تعبير جبري يتكون من مجموع حدود تحتوي على متغيرات مرفوعة إلى أسس صحيحة غير سالبة، مع معاملات عددية. 2. نحلل كل عبارة: أ) $\frac{1}{2} x^3 y^2 - 5x^4$ - الحدود هنا هي $\frac{1}{2} x^3 y^2$ و $-5x^4$. - الأسس في $x^3$ و $y^2$ صحيحة وغير سالبة. - إذن هذه كثيرة حدود. ب) $\sqrt{x} + 2x^2 + 1$ - الجذر التربيعي $\sqrt{x}$ يمكن كتابته كـ $x^{\frac{1}{2}}$. - الأس $\frac{1}{2}$ ليس عدداً صحيحاً، إذن ليست كثيرة حدود. ج) $x^{-3} + \frac{1}{2} x^2 + 4$ - الأس $-3$ في $x^{-3}$ هو عدد صحيح لكنه سالب. - كثيرة الحدود تتطلب أسس غير سالبة، إذن ليست كثيرة حدود. د) $\frac{x}{y} + 3x^3$ - $\frac{x}{y}$ يمكن كتابته كـ $x y^{-1}$. - الأس $-1$ في $y^{-1}$ سالب. - إذن ليست كثيرة حدود. 3. بناءً على التحليل، العبارة التي تمثل كثيرة حدود هي العبارة (أ). الجواب النهائي: أ) $\frac{1}{2} x^3 y^2 - 5x^4$