1. Problema C1: Determinați numerele reale a, b, c, știind că polinoamele $f = X^3 + aX^2 + bX + c$ și $g = (X - 2)(X - 3)(X + 1)$ sunt egale. 2. Pentru a determina coeficienții $a$, $b$, $c$, vom dezvolta polinomul $g$ și îl vom egala cu $f$. 3. Calculăm produsul: $$g = (X - 2)(X - 3)(X + 1)$$ 4. Mai întâi, calculăm $(X - 2)(X - 3)$: $$ (X - 2)(X - 3) = X^2 - 3X - 2X + 6 = X^2 - 5X + 6 $$ 5. Acum înmulțim rezultatul cu $(X + 1)$: $$ (X^2 - 5X + 6)(X + 1) = X^3 + X^2 - 5X^2 - 5X + 6X + 6 = X^3 - 4X^2 + X + 6 $$ 6. Deci: $$ g = X^3 - 4X^2 + X + 6 $$ 7. Egalăm coeficienții cu cei din $f$: $$ X^3 + aX^2 + bX + c = X^3 - 4X^2 + X + 6 $$ 8. Rezultă sistemul: $$ a = -4 $$ $$ b = 1 $$ $$ c = 6 $$ --- 9. Problema C3: Determinați polinomul $f \\in \mathbb{R}[X]$ de gradul doi care verifică condițiile $f(0) = 5$, $f(1) = 7$ și $f(2) = 11$. 10. Presupunem forma generală: $$ f(X) = aX^2 + bX + c $$ 11. Folosim condițiile date: - $f(0) = c = 5$ - $f(1) = a + b + c = 7$ - $f(2) = 4a + 2b + c = 11$ 12. Înlocuim $c = 5$ în celelalte ecuații: $$ a + b + 5 = 7 \Rightarrow a + b = 2 $$ $$ 4a + 2b + 5 = 11 \Rightarrow 4a + 2b = 6 $$ 13. Împărțim a doua ecuație la 2: $$ 2a + b = 3 $$ 14. Scădem prima ecuație din aceasta: $$ (2a + b) - (a + b) = 3 - 2 \Rightarrow a = 1 $$ 15. Din $a + b = 2$ rezultă: $$ 1 + b = 2 \Rightarrow b = 1 $$ 16. Deci polinomul este: $$ f(X) = X^2 + X + 5 $$