1. Problemstellung: Wir haben einen Planeten mit einer Anfangsbevölkerung von 50.000 im Jahr 2016, die jährlich um 2% abnimmt. 2. Formel: Die Bevölkerungszahl $P(t)$ nach $t$ Jahren wird durch die Exponentialfunktion $$P(t) = P_0 \times (1 - r)^t$$ mit $P_0 = 50000$ und $r = 0{,}02$ beschrieben. 3. a) Bevölkerung im Jahr 2040: - Zeitspanne: $2040 - 2016 = 24$ Jahre - Berechnung: $$P(24) = 50000 \times (0{,}98)^{24}$$ - Zwischenschritt: $$ (0{,}98)^{24} \approx 0{,}6065 $$ - Ergebnis: $$P(24) \approx 50000 \times 0{,}6065 = 30325$$ 4. b) Halbierung der Bevölkerung: - Gesucht: $t$ mit $P(t) = \frac{50000}{2} = 25000$ - Gleichung: $$25000 = 50000 \times (0{,}98)^t$$ - Vereinfachung: $$0{,}5 = (0{,}98)^t$$ - Logarithmieren: $$\ln(0{,}5) = t \times \ln(0{,}98)$$ - Auflösen nach $t$: $$t = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}98)} \approx \frac{-0{,}6931}{-0{,}0202} = 34{,}3$$ - Antwort: Nach ca. 34 Jahren, also im Jahr $2016 + 34 = 2050$. 5. c) Bevölkerung im Jahr 2000: - Zeitspanne: $2016 - 2000 = 16$ Jahre zurück - Formel für Rückrechnung: $$P(-16) = 50000 \times (0{,}98)^{-16} = 50000 \times \frac{1}{(0{,}98)^{16}}$$ - Berechnung: $$ (0{,}98)^{16} \approx 0{,}7248 $$ - Ergebnis: $$P(-16) \approx 50000 \times \frac{1}{0{,}7248} = 50000 \times 1{,}38 = 69000$$ 6. d) Bevölkerung auf 1% der Bevölkerung von 2020: - Bevölkerung 2020: $$P(4) = 50000 \times (0{,}98)^4 \approx 50000 \times 0{,922} = 46100$$ - 1% davon: $$0{,}01 \times 46100 = 461$$ - Gesucht: $t$ mit $$P(t) = 50000 \times (0{,}98)^t = 461$$ - Gleichung: $$\frac{461}{50000} = (0{,}98)^t$$ $$0{,}00922 = (0{,}98)^t$$ - Logarithmieren: $$\ln(0{,}00922) = t \times \ln(0{,}98)$$ - Auflösen: $$t = \frac{\ln(0{,}00922)}{\ln(0{,}98)} \approx \frac{-4{,}685}{-0{,}0202} = 232{,}0$$ - Antwort: Nach ca. 232 Jahren, also im Jahr $2016 + 232 = 2248$. Zusammenfassung: a) 30325 Bewohner im Jahr 2040 b) Halbierung nach ca. 34 Jahren (2050) c) 69000 Bewohner im Jahr 2000 d) 1% der Bevölkerung von 2020 nach ca. 232 Jahren (2248)