1. Planteamos el problema: Resolver la expresión $$ (x^{-1})^{3^2} - ((x^{-1})^3)^2 \cdot x^{15} = 1 $$ 2. Recordemos las propiedades de potencias importantes: - $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $ - $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ - $ a^{-m} = \frac{1}{a^m} $ 3. Simplificamos cada término: - Primero, $3^2 = 9$, entonces: $$ (x^{-1})^{9} = x^{-9} $$ - Segundo, $((x^{-1})^3)^2 = (x^{-3})^2 = x^{-6} $ - Por lo tanto, el segundo término es: $$ x^{-6} \cdot x^{15} = x^{-6 + 15} = x^{9} $$ 4. La ecuación queda: $$ x^{-9} - x^{9} = 1 $$ 5. Multiplicamos ambos lados por $x^{9}$ para eliminar exponentes negativos: $$ x^{\cancel{-9}} \cdot x^{9} - x^{9} \cdot x^{9} = 1 \cdot x^{9} $$ $$ \cancel{x^{0}} - x^{18} = x^{9} $$ $$ 1 - x^{18} = x^{9} $$ 6. Reordenamos para formar una ecuación en términos de $x^{9}$: $$ 1 = x^{9} + x^{18} $$ $$ 1 = x^{9} + (x^{9})^{2} $$ 7. Sea $y = x^{9}$, entonces: $$ 1 = y + y^{2} $$ $$ y^{2} + y - 1 = 0 $$ 8. Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula: $$ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} $$ donde $a=1$, $b=1$, $c=-1$. 9. Calculamos el discriminante: $$ \Delta = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 $$ 10. Soluciones para $y$: $$ y = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $$ 11. Como $y = x^{9}$, y $x^{9}$ debe ser real, consideramos ambas soluciones: - $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618$ - $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.618$ 12. Para $y_2$, $x^{9} = -1.618$ no tiene solución real para $x$ (potencia impar puede ser negativa, pero verificamos si es posible). 13. Para $y_1$, $x^{9} = 0.618$, entonces: $$ x = (0.618)^{\frac{1}{9}} $$ 14. Calculamos la raíz novena: $$ x \approx 0.618^{0.1111} \approx 0.933 $$ 15. Por lo tanto, la solución real aproximada es: $$ \boxed{x \approx 0.933} $$