1. Planteamos el problema: Calcular $A^{10}$ para la matriz $$A=\begin{pmatrix}0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$ donde $a,b$ son constantes. 2. Observamos que $A$ es una matriz triangular superior con ceros en la diagonal principal, por lo que es nilpotente. Esto significa que existe un entero $k$ tal que $A^k=0$. 3. Calculamos potencias bajas para encontrar $k$: $$A=\begin{pmatrix}0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$ $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix}0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & ab \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$ 4. Calculamos $A^3$: $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix}0 & 0 & ab \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = 0$$ 5. Por lo tanto, $A^3=0$ y para cualquier potencia mayor o igual a 3, $A^n=0$. 6. En particular, $A^{10} = 0$. --- 1. Segundo problema: Calcular la inversa de $I + A + A^2$ si es posible, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. 2. Sabemos que $A^3=0$, por lo que la serie geométrica para matrices nilpotentes nos dice que: $$ (I - A)^{-1} = I + A + A^2 $$ 3. Por lo tanto, la matriz $I + A + A^2$ es la inversa de $I - A$. 4. Como $I - A$ es invertible (porque $A$ es nilpotente), entonces $I + A + A^2$ también es invertible y su inversa es $I - A$. 5. Respuesta final: $$A^{10} = 0$$ $$ (I + A + A^2)^{-1} = I - A $$