1. **Problema:** Hallar $x$ si se cumple $$X^{x^2} = 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$$ 2. **Fórmula y reglas:** Para resolver ecuaciones con potencias, expresamos ambos lados con bases iguales o simplificamos la expresión. 3. **Simplificación del lado derecho:** $$2 \sqrt{2} \sqrt{2} = 2 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 2 \times 2 = 4$$ 4. **Reescribimos la ecuación:** $$X^{x^2} = 4$$ 5. **Asumiendo que $X = x$ (por la notación), la ecuación es:** $$x^{x^2} = 4$$ 6. **Expresamos 4 como potencia de 2:** $$4 = 2^2$$ 7. **Buscamos $x$ tal que:** $$x^{x^2} = 2^2$$ 8. **Probamos $x = \sqrt{2}$:** $$\left(\sqrt{2}\right)^{(\sqrt{2})^2} = \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2$$ No es 4, entonces no es solución. 9. **Probamos $x = 2$:** $$2^{2^2} = 2^4 = 16$$ No es 4. 10. **Probamos $x = \sqrt{2}$ elevado a alguna potencia:** Sea $x = 2^{a}$, entonces: $$x^{x^2} = (2^a)^{(2^a)^2} = 2^{a \times (2^{2a})} = 2^{a \times 2^{2a}}$$ Queremos que esto sea igual a $2^2$, entonces: $$a \times 2^{2a} = 2$$ 11. **Buscamos $a$ que cumpla:** $$a \times 2^{2a} = 2$$ 12. **Probamos $a=1/2$:** $$\frac{1}{2} \times 2^{2 \times \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \times 2^{1} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$$ No es 2. 13. **Probamos $a=1$:** $$1 \times 2^{2} = 1 \times 4 = 4$$ No es 2. 14. **Probamos $a=\frac{1}{4}$:** $$\frac{1}{4} \times 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} \times \sqrt{2} \approx 0.3535$$ No es 2. 15. **Conclusión:** La solución exacta para $x$ es la que satisface la ecuación transcendental $$a \times 2^{2a} = 2$$ con $x = 2^a$. **Respuesta final:** $$\boxed{x = 2^{a} \text{ donde } a \text{ satisface } a \times 2^{2a} = 2}$$