1. Escreva sob a forma de potência: 1.a) Temos a expressão $\left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{2}{3}} \times \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{2}{3}} \times \left(\frac{5}{25}\right)^{\frac{2}{3}}$. Como todas as potências têm o mesmo expoente, podemos multiplicar as bases e manter o expoente: $$\left(\frac{3}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{5}{25}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{3 \times 2 \times 5}{5 \times 5 \times 25}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{30}{625}\right)^{\frac{2}{3}}$$ Simplificando $\frac{30}{625} = \frac{6}{125}$, então: $$\left(\frac{6}{125}\right)^{\frac{2}{3}}$$ 1.b) A expressão é $\left(2^{\frac{1}{2}} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}\right)^4$. Sabemos que $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$, então: $$\left(2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{2}}\right)^4 = \left(2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}\right)^4 = \left(2^{\frac{3}{2}}\right)^4 = 2^{\frac{3}{2} \times 4} = 2^6$$ 1.c) A expressão é $\left(\sqrt{3} \times \sqrt[3]{3}\right)^5$. Convertendo para potências: $$\left(3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{3}}\right)^5 = \left(3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}\right)^5 = \left(3^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}}\right)^5 = \left(3^{\frac{5}{6}}\right)^5 = 3^{\frac{5}{6} \times 5} = 3^{\frac{25}{6}}$$ 1.d) A expressão é $\sqrt[3]{\sqrt{3^{\frac{1}{2}}}}$. Primeiro, $\sqrt{3^{\frac{1}{2}}} = \left(3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{4}}$. Então: $$\sqrt[3]{3^{\frac{1}{4}}} = 3^{\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{12}}$$ 2. Considere a expressão $\frac{\sqrt[3]{2\sqrt{3} \times x^2 \times \frac{1}{2}}}{6^6}$. 2.a) Representar na forma de radical de índice 3: Simplificando dentro do radical: $$2 \sqrt{3} \times x^2 \times \frac{1}{2} = \sqrt{3} \times x^2$$ Então a expressão é: $$\frac{\sqrt[3]{\sqrt{3} \times x^2}}{6^6}$$ 2.b) Representar na forma de potência de base 2: Sabemos que $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ e $6 = 2 \times 3$, então: $$6^6 = (2 \times 3)^6 = 2^6 \times 3^6$$ A expressão fica: $$\frac{(3^{\frac{1}{2}} x^2)^{\frac{1}{3}}}{2^6 \times 3^6} = \frac{3^{\frac{1}{6}} x^{\frac{2}{3}}}{2^6 \times 3^6} = 2^{-6} \times 3^{\frac{1}{6} - 6} \times x^{\frac{2}{3}} = 2^{-6} \times 3^{-\frac{35}{6}} \times x^{\frac{2}{3}}$$ 3. Efetue as operações e simplifique: 3.a) $\frac{\sqrt{4a^2 + 12a + 9}}{25a^2}$ O radicando é um quadrado perfeito: $$4a^2 + 12a + 9 = (2a + 3)^2$$ Então: $$\frac{\sqrt{(2a + 3)^2}}{25a^2} = \frac{|2a + 3|}{25a^2}$$ 3.b) $\sqrt{y^2 - 2y + 1}$ O radicando é um quadrado perfeito: $$y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2$$ Então: $$\sqrt{(y - 1)^2} = |y - 1|$$ 3.c) $\frac{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{4}}\right)^5}{\sqrt{18 - \sqrt{8}} \times \sqrt[3]{12}}$ Primeiro, $\sqrt[3]{\sqrt[3]{4}} = 4^{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}} = 4^{\frac{1}{9}}$, então o numerador é: $$\left(4^{\frac{1}{9}}\right)^5 = 4^{\frac{5}{9}}$$ Simplificando o denominador: $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$, então: $$18 - \sqrt{8} = 18 - 2\sqrt{2}$$ Não é fácil simplificar diretamente, mas podemos tentar fatorar ou racionalizar. Vamos deixar assim para simplificação posterior. $\sqrt[3]{12} = 12^{\frac{1}{3}} = (2^2 \times 3)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{1}{3}}$ Assim, a expressão é: $$\frac{4^{\frac{5}{9}}}{\sqrt{18 - 2\sqrt{2}} \times 2^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{1}{3}}}$$ 3.d) $\sqrt{48} - \sqrt{\frac{12}{25}} + \sqrt{\frac{1}{9}} + 3\sqrt{75}$ Simplificando cada termo: $$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$$ $$\sqrt{\frac{12}{25}} = \frac{\sqrt{12}}{5} = \frac{2\sqrt{3}}{5}$$ $$\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$$ $$3\sqrt{75} = 3 \times \sqrt{25 \times 3} = 3 \times 5 \sqrt{3} = 15 \sqrt{3}$$ Somando os termos com $\sqrt{3}$: $$4\sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{5} + 15\sqrt{3} = \left(4 - \frac{2}{5} + 15\right) \sqrt{3} = \left(19 - \frac{2}{5}\right) \sqrt{3} = \frac{95}{5} - \frac{2}{5} = \frac{93}{5} \sqrt{3}$$ Então a soma total é: $$\frac{93}{5} \sqrt{3} + \frac{1}{3}$$ 4. Mostre que: 4.a) $\sqrt[4]{a} \times \sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{5}{12}}$ Convertendo para potências: $$a^{\frac{1}{4}} \times a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{4} + \frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{12} + \frac{8}{12}} = a^{\frac{11}{12}}$$ Aqui parece haver um erro na questão, pois a soma dos expoentes é $\frac{11}{12}$, não $\frac{5}{12}$. Se a questão for $a^{\frac{1}{4}} \times a^{\frac{1}{3}}$, então: $$a^{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{3}{12} + \frac{4}{12}} = a^{\frac{7}{12}}$$ Mas para $a^{\frac{5}{12}}$, a soma dos expoentes deve ser $\frac{5}{12}$. Talvez a questão queira $a^{\frac{1}{4}} \times a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{12}}$ se o segundo expoente for $\frac{1}{3}$ e o primeiro $\frac{1}{4}$. Assumindo que a questão está correta, a soma é: $$\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}$$ Portanto, a expressão correta é: $$a^{\frac{11}{12}}$$ 4.b) Mostrar que: $$\frac{b^{\frac{1}{4}} \times b^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a}} = b \times \sqrt{\frac{b^3}{a}}$$ No lado esquerdo: $$\frac{b^{\frac{1}{4} + \frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{b^{\frac{1}{4} + \frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{b^{\frac{1}{4} + \frac{6}{4}}}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{b^{\frac{7}{4}}}{a^{\frac{1}{2}}}$$ No lado direito: $$b \times \sqrt{\frac{b^3}{a}} = b \times \frac{b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{b^{1 + \frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{b^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$$ Os dois lados não são iguais, então a expressão dada não é verdadeira a menos que haja um erro na questão. 5. Calcule o valor numérico da expressão: $$\left[\frac{\sqrt[3]{3\sqrt{a} + 2 \sqrt[6]{a}}}{(\sqrt{1 - a})^2 a^{\frac{1}{2}}}\right]^6$$ para $a = \frac{1}{4}$. Passos: - Calcule $3\sqrt{a} = 3 a^{\frac{1}{2}} = 3 \times \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}} = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. - Calcule $2 \sqrt[6]{a} = 2 a^{\frac{1}{6}} = 2 \times \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{6}} = 2 \times 2^{-\frac{1}{3}} = 2 \times 2^{-0.3333} = 2 \times 0.7937 = 1.5874$ aproximadamente. - Soma dentro do radical cúbico: $$\frac{3}{2} + 1.5874 = 3.0874$$ - Raiz cúbica: $$\sqrt[3]{3.0874} \approx 1.46$$ - Calcule $(\sqrt{1 - a})^2 = (\sqrt{1 - \frac{1}{4}})^2 = (\sqrt{\frac{3}{4}})^2 = \frac{3}{4}$. - Calcule $a^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$. - Denominador: $$\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} = 0.375$$ - Fração dentro dos colchetes: $$\frac{1.46}{0.375} = 3.8933$$ - Elevando à sexta potência: $$3.8933^6 \approx 7350.5$$ Resposta final aproximada: $7350.5$