1. Problema 40: Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Se pide: a) Calcular $A^{2024}$. b) Hallar la matriz $X$, si es posible, que verifica $$A^{2} \cdot X \cdot A + I = 0,$$ donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. 2. Paso 1: Observamos que $A$ es una matriz triangular superior con unos en la diagonal, por lo que es una matriz unipotente más una identidad. 3. Paso 2: Para calcular potencias de $A$, notamos que $$A = I + N,$$ donde $$N = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 4. Paso 3: Calculamos $N^2$ y $N^3$ para ver si $N$ es nilpotente: $$N^2 = N \cdot N = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 5. Paso 4: Como $N^2 = 0$, $N$ es nilpotente de orden 2. 6. Paso 5: Usamos la fórmula para potencias de matrices unipotentes: $$A^{k} = (I + N)^{k} = I + kN,$$ porque los términos con $N^2$ y superiores son cero. 7. Paso 6: Por lo tanto, $$A^{2024} = I + 2024 N = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2024 \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{2024}{8} & \frac{2024}{8} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 253 & 253 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 8. Paso 7: Para la parte b), queremos encontrar $X$ tal que $$A^{2} X A + I = 0 \implies A^{2} X A = -I.$$ 9. Paso 8: Multiplicamos ambos lados por $A^{-1}$ a la derecha y $(A^{2})^{-1}$ a la izquierda: $$X = (A^{2})^{-1} (-I) A^{-1} = - (A^{2})^{-1} A^{-1} = - A^{-3}.$$ 10. Paso 9: Calculamos $A^{3}$ usando la fórmula: $$A^{3} = I + 3N = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ 11. Paso 10: Para encontrar $A^{-3}$, usamos que $$A^{-1} = (I + N)^{-1} = I - N,$$ porque $N^2=0$. 12. Paso 11: Entonces, $$A^{-3} = (A^{-1})^{3} = (I - N)^{3} = I - 3N,$$ por la misma razón de nilpotencia. 13. Paso 12: Por lo tanto, $$X = - A^{-3} = - (I - 3N) = -I + 3N = \begin{pmatrix} -1 & \frac{3}{8} \cdot 3 & \frac{3}{8} \cdot 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & \frac{9}{8} & \frac{9}{8} \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$ 14. Respuesta final: $$A^{2024} = \begin{pmatrix} 1 & 253 & 253 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} -1 & \frac{9}{8} & \frac{9}{8} \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$