1. Problema: Calcular $$F = 4^{20} - 16^{10}$$. Sabemos que $$16 = 4^2$$, entonces $$16^{10} = (4^2)^{10} = 4^{20}$$. Por lo tanto, $$F = 4^{20} - 4^{20} = 0$$. 2. Problema: Calcular $$\left(\frac{2}{9}\right)^6 \left(\frac{9}{4}\right)^9 \left(\frac{8}{27}\right)^{-4}$$. Primero expresamos cada término de manera conveniente: $$\left(\frac{2}{9}\right)^6 = \frac{2^6}{9^6}$$ $$\left(\frac{9}{4}\right)^9 = \frac{9^9}{4^9}$$ $$\left(\frac{8}{27}\right)^{-4} = \left(\frac{27}{8}\right)^4 = \frac{27^4}{8^4}$$ Multiplicamos: $$\frac{2^6}{9^6} \times \frac{9^9}{4^9} \times \frac{27^4}{8^4} = \frac{2^6 \times 9^9 \times 27^4}{9^6 \times 4^9 \times 8^4}$$ Simplificamos potencias con bases comunes: $$9^9 / 9^6 = 9^{3}$$ Entonces: $$= \frac{2^6 \times 9^{3} \times 27^4}{4^9 \times 8^4}$$ Expresamos todo en factores primos: $$9 = 3^2, \quad 27 = 3^3, \quad 4=2^2, \quad 8=2^3$$ Por tanto: $$2^6 \times 9^{3} \times 27^4 = 2^6 \times (3^2)^3 \times (3^3)^4 = 2^6 \times 3^{6} \times 3^{12} = 2^6 \times 3^{18}$$ Denominador: $$4^9 \times 8^4 = (2^2)^9 \times (2^3)^4 = 2^{18} \times 2^{12} = 2^{30}$$ Entonces la expresión es: $$\frac{2^6 \times 3^{18}}{2^{30}} = 3^{18} \times 2^{6-30} = 3^{18} \times 2^{-24} = \frac{3^{18}}{2^{24}}$$ 3. Problema: Si $$x^5 = 5$$, hallar $$A = \frac{x^3}{x^4}$$. Simplificamos: $$A = x^{3-4} = x^{-1} = \frac{1}{x}$$ De $$x^5 = 5$$, entonces $$x = 5^{1/5}$$ Por lo tanto: $$A = \frac{1}{5^{1/5}} = 5^{-1/5}$$ 4. Problema: Calcular $$\left(\left(\frac{4}{7}\right)^{-1} + \left(\frac{2}{5}\right)^{-2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\right)^2$$. Calculamos cada término: $$\left(\frac{4}{7}\right)^{-1} = \frac{7}{4}$$ $$\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$$ $$\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$$ Sumamos: $$\frac{7}{4} + \frac{25}{4} + 8 = \frac{32}{4} + 8 = 8 + 8 = 16$$ Elevamos al cuadrado: $$16^2 = 256$$ Respuesta final: 1) 0 2) $\frac{3^{18}}{2^{24}}$ 3) $5^{-1/5}$ 4) 256