1. **Problem statement:** Schreibe die folgenden Ausdrücke als eine Potenz. 2. **Wichtige Regeln:** - Potenzen mit gleicher Basis können multipliziert werden, indem man die Exponenten addiert: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. - Potenzen mit gleicher Basis können dividiert werden, indem man die Exponenten subtrahiert: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. - Potenzen von Potenzen werden multipliziert: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. - Zahlen können als Potenzen von Primfaktoren geschrieben werden. 3. **Lösungen:** a) $\frac{5^5 \cdot 4^{10}}{8^2}$ Schreibe 4 und 8 als Potenzen von 2: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$ Also: $\frac{5^5 \cdot (2^2)^{10}}{(2^3)^2} = \frac{5^5 \cdot 2^{20}}{2^6} = 5^5 \cdot 2^{20-6} = 5^5 \cdot 2^{14}$ b) $\frac{5^7 \cdot 25^3}{125^4}$ Schreibe 25 und 125 als Potenzen von 5: $25 = 5^2$, $125 = 5^3$ Also: $\frac{5^7 \cdot (5^2)^3}{(5^3)^4} = \frac{5^7 \cdot 5^{6}}{5^{12}} = 5^{7+6-12} = 5^1 = 5$ c) $\frac{81^6}{9^4 \cdot 27^3}$ Schreibe 81, 9 und 27 als Potenzen von 3: $81 = 3^4$, $9 = 3^2$, $27 = 3^3$ Also: $\frac{(3^4)^6}{3^{2 \cdot 4} \cdot (3^3)^3} = \frac{3^{24}}{3^{8} \cdot 3^{9}} = 3^{24 - (8+9)} = 3^{7}$ d) $\frac{3^2 \cdot 2^2 \cdot 36^3}{6^7}$ Schreibe 36 und 6 als Potenzen von 2 und 3: $36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2$, $6 = 2 \cdot 3$ Also: $\frac{3^2 \cdot 2^2 \cdot (2^2 \cdot 3^2)^3}{(2 \cdot 3)^7} = \frac{3^2 \cdot 2^2 \cdot 2^{6} \cdot 3^{6}}{2^{7} \cdot 3^{7}} = \frac{2^{2+6} \cdot 3^{2+6}}{2^{7} \cdot 3^{7}} = 2^{8-7} \cdot 3^{8-7} = 2^{1} \cdot 3^{1} = 6$ e) $\frac{9^3 \cdot 3^4}{81}$ Schreibe 9 und 81 als Potenzen von 3: $9 = 3^2$, $81 = 3^4$ Also: $\frac{(3^2)^3 \cdot 3^4}{3^4} = \frac{3^{6} \cdot 3^{4}}{3^{4}} = 3^{6+4-4} = 3^{6}$ f) $\frac{7^5 \cdot 49^2}{7}$ Schreibe 49 als Potenz von 7: $49 = 7^2$ Also: $\frac{7^5 \cdot (7^2)^2}{7^1} = \frac{7^5 \cdot 7^{4}}{7^{1}} = 7^{5+4-1} = 7^{8}$ g) $\frac{1}{64} \cdot 2^4 \cdot 4^3$ Schreibe 64 und 4 als Potenzen von 2: $64 = 2^6$, $4 = 2^2$ Also: $2^{-6} \cdot 2^{4} \cdot (2^2)^3 = 2^{-6} \cdot 2^{4} \cdot 2^{6} = 2^{-6+4+6} = 2^{4}$ h) $3^{-5} \cdot \frac{1}{9} \cdot 81$ Schreibe 9 und 81 als Potenzen von 3: $9 = 3^2$, $81 = 3^4$ Also: $3^{-5} \cdot 3^{-2} \cdot 3^{4} = 3^{-5-2+4} = 3^{-3}$