1. **Stato il problema.** Semplifichiamo l’espressione $$\left(\frac{1}{x^3y-x^2y^2}+\frac{1}{x^2y^2+xy^3}-\frac{2}{x^3y-xy^3}\right):\left(\frac{2xy}{x-y}\right)^{-2}$$ 2. **Formula e regole da usare.** Ricordo due regole importanti. - Se un’espressione è divisa per una potenza con esponente $-2$, conviene trasformarla nel suo reciproco con esponente positivo. - Prima di sommare o sottrarre frazioni, fattorizzo i denominatori per trovare il denominatore comune. 3. **Fattorizzo i denominatori.** $$x^3y-x^2y^2=x^2y(x-y)$$ $$x^2y^2+xy^3=xy^2(x+y)$$ $$x^3y-xy^3=xy(x^2-y^2)=xy(x-y)(x+y)$$ Quindi l’espressione diventa $$\frac{1}{x^2y(x-y)}+\frac{1}{xy^2(x+y)}-\frac{2}{xy(x-y)(x+y)}$$ 4. **Trovo il denominatore comune e sommo.** Il denominatore comune è $$x^2y^2(x-y)(x+y).$$ Porto ogni frazione a questo denominatore. $$\frac{1}{x^2y(x-y)}=\frac{\cancel{y}}{x^2y^2(x-y)}=\frac{y(x+y)}{x^2y^2(x-y)(x+y)}$$ $$\frac{1}{xy^2(x+y)}=\frac{\cancel{x}}{x^2y^2(x+y)}=\frac{x(x-y)}{x^2y^2(x-y)(x+y)}$$ $$\frac{2}{xy(x-y)(x+y)}=\frac{2xy}{x^2y^2(x-y)(x+y)}$$ Allora il numeratore diventa $$y(x+y)+x(x-y)-2xy$$ Sviluppo: $$yx+y^2+x^2-xy-2xy=x^2+y^2-2xy=(x-y)^2$$ Quindi la parentesi vale $$\frac{(x-y)^2}{x^2y^2(x-y)(x+y)}$$ Semplifico un fattore comune: $$\frac{\cancel{(x-y)}(x-y)}{x^2y^2\cancel{(x-y)}(x+y)}=\frac{x-y}{x^2y^2(x+y)}$$ 5. **Tratto la divisione per la potenza negativa.** Ora considero $$\left(\frac{2xy}{x-y}\right)^{-2}=\left(\frac{x-y}{2xy}\right)^2=\frac{(x-y)^2}{4x^2y^2}$$ Dividere per questa quantità significa moltiplicare per il suo reciproco: $$\frac{x-y}{x^2y^2(x+y)}:\frac{(x-y)^2}{4x^2y^2}=\frac{x-y}{x^2y^2(x+y)}\cdot\frac{4x^2y^2}{(x-y)^2}$$ Semplifico i fattori comuni: $$\frac{\cancel{x-y}}{\cancel{x^2y^2}(x+y)}\cdot\frac{4\cancel{x^2y^2}}{\cancel{x-y}(x-y)}=\frac{4}{(x-y)(x+y)}$$ 6. **Risultato finale.** $$\boxed{\frac{4}{x^2-y^2}}$$