1. **Problemstellung:** Überprüfen wir die Richtigkeit der Potenzgesetze und Vereinfachungen in den gegebenen Ausdrücken a) bis h). 2. **Wichtige Regeln:** - Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ - Potenzen potenzieren: $$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$$ - Negative Exponenten bedeuten Kehrwert: $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ - Brüche mit Potenzen: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$ 3. **Überprüfung der einzelnen Aufgaben:** **a)** $$2^5 \cdot 4^{10} = 2^5 \cdot (2^2)^{10} = 2^5 \cdot 2^{20} = 2^{5+20} = 2^{25}$$ Gegeben war $$8^2 = (2^3)^2 = 2^{6}$$ Vergleich: $$2^{6} \neq 2^{25}$$ Also ist $$8^2 \neq 2^5 \cdot 4^{10}$$ **b)** $$5^7 \cdot 25^3 = 5^7 \cdot (5^2)^3 = 5^7 \cdot 5^{6} = 5^{13}$$ Gegeben war $$125^4 = (5^3)^4 = 5^{12}$$ Vergleich: $$5^{12} \neq 5^{13}$$ Also ist $$125^4 \neq 5^7 \cdot 25^3$$ **c)** $$81^6 = (3^4)^6 = 3^{24}$$ Gegeben war $$9^4 \cdot 27^3 = (3^2)^4 \cdot (3^3)^3 = 3^{8} \cdot 3^{9} = 3^{17}$$ Vergleich: $$3^{24} \neq 3^{17}$$ Also ist $$81^6 \neq 9^4 \cdot 27^3$$ **d)** $$3^2 \cdot 2^7 \cdot 36^3$$ 36 ist $$6^2$$, also: $$3^2 \cdot 2^7 \cdot (6^2)^3 = 3^2 \cdot 2^7 \cdot 6^{6}$$ Da $$6 = 2 \cdot 3$$, gilt: $$6^{6} = (2 \cdot 3)^{6} = 2^{6} \cdot 3^{6}$$ Also: $$3^2 \cdot 2^7 \cdot 2^{6} \cdot 3^{6} = 3^{2+6} \cdot 2^{7+6} = 3^{8} \cdot 2^{13}$$ Gegeben war $$6^7 = (2 \cdot 3)^7 = 2^{7} \cdot 3^{7}$$ Vergleich: $$3^{8} \cdot 2^{13} \neq 3^{7} \cdot 2^{7}$$ Also ist $$3^2 \cdot 2^7 \cdot 36^3 \neq 6^7$$ **e)** $$9^3 \cdot 3^4 = (3^2)^3 \cdot 3^4 = 3^{6} \cdot 3^{4} = 3^{10}$$ Gegeben war $$81 = (3^4)^3 \cdot 3^4$$ Das ist falsch, denn $$81 = 3^4$$ Also stimmt die Gleichung nicht. **f)** $$7^5 \cdot 49^2 = 7^5 \cdot (7^2)^2 = 7^5 \cdot 7^{4} = 7^{9}$$ Gegeben war $$7 = 7^5 \cdot (7^2)^2 = 7^{9}$$ Vergleich: $$7^{1} \neq 7^{9}$$ Also ist $$7 \neq 7^5 \cdot 49^2$$ **g)** $$\frac{1}{64} \cdot 2^4 \cdot 4^3 = \frac{1}{2^6} \cdot 2^4 \cdot (2^2)^3 = \frac{1}{2^6} \cdot 2^4 \cdot 2^{6} = \frac{2^{10}}{2^6} = 2^{4}$$ Diese Rechnung ist korrekt. **h)** $$3^{-5} \cdot \frac{1}{9} \cdot 81 = 3^{-5} \cdot \frac{1}{3^2} \cdot 3^{4} = 3^{-5} \cdot 3^{-2} \cdot 3^{4} = 3^{-7+4} = 3^{-3}$$ Diese Rechnung ist korrekt. 4. **Fazit:** Nur die Aufgaben g) und h) sind korrekt gerechnet. Die anderen enthalten Fehler in der Potenzvereinfachung oder Gleichsetzung. **Endergebnis:** Nur g) und h) sind richtig, alle anderen sind falsch.