1. **Problemstellung:** Vereinfache die gegebenen Terme mithilfe der Potenzgesetze so weit wie möglich und schreibe sie, wenn möglich, als Wurzel. 2. **Wichtige Potenzgesetze:** - $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ - $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ - $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ - $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$ - Wurzeln als Potenzen: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ 3. **Aufgaben und Lösungen:** **a)** $x^{\frac{1}{5}} \cdot y^{\frac{1}{5}}$ - Da die Exponenten gleich sind, kann man schreiben: $$x^{\frac{1}{5}} \cdot y^{\frac{1}{5}} = (xy)^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{xy}$$ **b)** $x^{-\frac{1}{2}} \cdot x$ - Schreibe $x$ als $x^1$: $$x^{-\frac{1}{2}} \cdot x^1 = x^{-\frac{1}{2} + 1} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$$ **c)** $a^{\frac{1}{4}} : a^{-\frac{1}{4}}$ - Division entspricht Subtraktion der Exponenten: $$a^{\frac{1}{4}} : a^{-\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4} - (-\frac{1}{4})} = a^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = a^{\frac{2}{4}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$$ **d)** $(32a)^{\frac{1}{5}} : a^{\frac{1}{5}}$ - Schreibe Division als Subtraktion der Exponenten: $$\frac{(32a)^{\frac{1}{5}}}{a^{\frac{1}{5}}} = (32a)^{\frac{1}{5}} \cdot a^{-\frac{1}{5}} = 32^{\frac{1}{5}} a^{\frac{1}{5}} \cdot a^{-\frac{1}{5}} = 32^{\frac{1}{5}} a^{\cancel{\frac{1}{5} - \frac{1}{5}}} = 32^{\frac{1}{5}}$$ - $32 = 2^5$, also: $$32^{\frac{1}{5}} = (2^5)^{\frac{1}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{1}{5}} = 2^1 = 2$$ **e)** $2^{-\frac{2}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} x\right)^{-\frac{2}{3}}$ - Schreibe als: $$2^{-\frac{2}{3}} \cdot \left(2^{-1} x\right)^{-\frac{2}{3}} = 2^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} x^{-\frac{2}{3}} = 2^{-\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} x^{-\frac{2}{3}} = x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$$ **f)** $(a^{\frac{1}{2}})^8$ - Potenzgesetz $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$a^{\frac{1}{2} \cdot 8} = a^4$$ **g)** $(\sqrt[4]{x^6})^{\frac{1}{3}}$ - Schreibe Wurzel als Potenz: $$\left(x^{\frac{6}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{6}{4} \cdot \frac{1}{3}} = x^{\frac{6}{12}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$$ **h)** $\left((5a)^{\frac{3}{10}}\right)^{-\frac{5}{6}}$ - Potenzgesetz: $$ (5a)^{\frac{3}{10} \cdot -\frac{5}{6}} = (5a)^{-\frac{15}{60}} = (5a)^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{(5a)^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{5a}}$$