1. 题目说明：已知幂函数 $$f(x) = (m^2 - 2m - 2) x^{m-1}$$ 在区间 $$[0, +\infty)$$ 上单调递增，求： (1) 参数 $$m$$ 的值； (2) 关于 $$x$$ 的不等式 $$f(x) < x + a^2 - a$$ 的解集。 2. 公式与规则： - 幂函数形式为 $$f(x) = C x^k$$，其中 $$C$$ 和 $$k$$ 是常数。 - 幂函数在 $$[0, +\infty)$$ 上单调递增的条件是： - 当 $$k > 0$$ 且 $$C > 0$$ 时，函数单调递增。 3. 求解第一问： - 由题意，$$f(x) = (m^2 - 2m - 2) x^{m-1}$$ 是幂函数。 - 设 $$C = m^2 - 2m - 2$$，指数为 $$k = m - 1$$。 - 题中给出 $$f(x)$$ 是幂函数，且在 $$[0, +\infty)$$ 上单调递增。 - 因此，要求 $$C > 0$$ 且 $$k > 0$$。 4. 解方程确定 $$m$$： - 题中给出 $$C = 1$$，即 $$m^2 - 2m - 2 = 1$$。 - 化简得： $$m^2 - 2m - 3 = 0$$。 - 使用求根公式： $$m = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$。 - 得到两个解： $$m = 3$$ 或 $$m = -1$$。 5. 验证单调性： - 当 $$m = 3$$，指数 $$k = 3 - 1 = 2 > 0$$，且 $$C = 1 > 0$$，函数为 $$f(x) = x^2$$，在 $$[0, +\infty)$$ 上单调递增，符合题意。 - 当 $$m = -1$$，指数 $$k = -1 - 1 = -2 < 0$$，函数为 $$f(x) = x^{-2}$$，在 $$[0, +\infty)$$ 上单调递减，不符合题意。 6. 结论： $$m = 3$$。 7. 求解第二问： - 由第一问得 $$f(x) = x^2$$。 - 不等式为： $$x^2 < x + a^2 - a$$。 - 移项得： $$x^2 - x - (a^2 - a) < 0$$。 - 因式分解： $$x^2 - x - (a^2 - a) = (x - a)(x + (a - 1)) < 0$$。 8. 解不等式： - 不等式 $$ (x - a)(x + (a - 1)) < 0 $$ 表示 $$x$$ 在两个根之间。 - 两根为 $$x = a$$ 和 $$x = 1 - a$$。 - 根据 $$a$$ 的大小分类讨论： - 当 $$a = \frac{1}{2}$$ 时，两个根相等，不等式无解。 - 当 $$a < \frac{1}{2}$$ 时，解集为 $$a < x < 1 - a$$。 - 当 $$a > \frac{1}{2}$$ 时，解集为 $$1 - a < x < a$$。 9. 最终答案： (1) $$m = 3$$。 (2) 不等式 $$f(x) < x + a^2 - a$$ 的解集为： - 当 $$a = \frac{1}{2}$$，解集为空集 $$\emptyset$$。 - 当 $$a < \frac{1}{2}$$，解集为 $$(a, 1 - a)$$。 - 当 $$a > \frac{1}{2}$$，解集为 $$(1 - a, a)$$。