1. **Déterminer une primitive de** $f(x) = 4x(2x^2 + 5)^3$. - Posons $u = 2x^2 + 5$, alors $\frac{du}{dx} = 4x$. - Donc $f(x) = (2x^2 + 5)^3 \cdot 4x = u^3 \cdot \frac{du}{dx}$. - La primitive est donc $F(x) = \int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{(2x^2 + 5)^4}{4} + C$. 2. **Déterminer une primitive de** $g(x) = \frac{x^2 + 2}{\sqrt{2x^3 + 6x}}$. - Posons $v = 2x^3 + 6x$, alors $\frac{dv}{dx} = 6x^2 + 6 = 6(x^2 + 1)$. - Or $g(x)$ a au numérateur $x^2 + 2$, proche de $x^2 + 1$. - Essayons d'écrire $g(x)$ sous forme $\frac{A(x^2 + 1) + B}{\sqrt{v}}$. - $x^2 + 2 = A(x^2 + 1) + B = A x^2 + A + B$. - Égalité des coefficients : $A = 1$, $A + B = 2 \Rightarrow 1 + B = 2 \Rightarrow B = 1$. - Donc $g(x) = \frac{x^2 + 1}{\sqrt{v}} + \frac{1}{\sqrt{v}}$. - Intégrons séparément : $$\int \frac{x^2 + 1}{\sqrt{v}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{v}} dx$$ - Pour la première partie, posons $w = v = 2x^3 + 6x$, alors $dw = (6x^2 + 6) dx = 6(x^2 + 1) dx$. - Donc $\int \frac{x^2 + 1}{\sqrt{v}} dx = \int \frac{1}{6} \frac{dw}{\sqrt{w}} = \frac{1}{6} \int w^{-1/2} dw = \frac{1}{6} \cdot 2 w^{1/2} + C = \frac{\sqrt{2x^3 + 6x}}{3} + C$. - Pour la deuxième partie, $\int \frac{1}{\sqrt{v}} dx$ est plus complexe et ne se simplifie pas facilement en élémentaires. - Donc la primitive de $g$ est : $$G(x) = \frac{\sqrt{2x^3 + 6x}}{3} + \int \frac{1}{\sqrt{2x^3 + 6x}} dx + C$$ 3. **Simplifier** $\ln(27) - \ln(\sqrt[5]{3}) + \ln(\sqrt[6]{e})$. - Rappel : $\ln(a^b) = b \ln(a)$. - $\ln(27) = \ln(3^3) = 3 \ln(3)$. - $\ln(\sqrt[5]{3}) = \ln(3^{1/5}) = \frac{1}{5} \ln(3)$. - $\ln(\sqrt[6]{e}) = \ln(e^{1/6}) = \frac{1}{6}$. - Donc l'expression devient : $$3 \ln(3) - \frac{1}{5} \ln(3) + \frac{1}{6} = \left(3 - \frac{1}{5}\right) \ln(3) + \frac{1}{6} = \frac{15}{5} - \frac{1}{5} = \frac{14}{5}$$ $$= \frac{14}{5} \ln(3) + \frac{1}{6}$$ 4. **Résoudre dans** $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x^2) = \ln(2x - 1)$. - Les domaines : $x^2 > 0$ toujours sauf $x=0$, et $2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$. - Équation équivalente : $x^2 = 2x - 1$. - $x^2 - 2x + 1 = 0$. - $(x - 1)^2 = 0$. - Solution : $x = 1$. - Vérification domaine : $1 > \frac{1}{2}$, solution valide. 5. **Résoudre dans** $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(3x - 1) \geq 2$. - Domaine : $3x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{3}$. - $\ln(3x - 1) \geq 2 \Rightarrow 3x - 1 \geq e^2$. - $3x \geq e^2 + 1$. - $x \geq \frac{e^2 + 1}{3}$. - En tenant compte du domaine, la solution est : $$x \in \left[\frac{e^2 + 1}{3}, +\infty\right[$$