1. **Énoncé du problème :** Calculer les expressions données en respectant les priorités opératoires et simplifier les résultats sous forme de fractions. 2. **Rappel des règles importantes :** - Les puissances sont calculées avant les multiplications, divisions, additions et soustractions. - Les parenthèses indiquent les calculs à effectuer en priorité. - Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur. 3. **Calculs et simplifications :** **A = (3/4)^2** $$A = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$$ **B = \frac{1 - 5^2}{(1 - 5)^2}** $$B = \frac{1 - 25}{(1 - 5)^2} = \frac{-24}{(-4)^2} = \frac{-24}{16} = \frac{\cancel{-24}^{-6} \times 4}{\cancel{16}^{4} \times 4} = -\frac{3}{2}$$ **C = \frac{5^2}{3}** $$C = \frac{25}{3}$$ **D = \frac{(-5)^2}{(-2)^3}** $$D = \frac{25}{-8} = -\frac{25}{8}$$ 4. **Priorités opératoires pour les expressions avec plusieurs opérations :** **E = \frac{8}{5} + \frac{7}{5} \times \frac{4}{5}** - Priorité : multiplication $\frac{7}{5} \times \frac{4}{5}$ **F = \frac{53}{30} - \left(\frac{3}{10} + \frac{9}{10}\right)$ - Priorité : parenthèses $\frac{3}{10} + \frac{9}{10}$ **G = \frac{7}{6} \times \frac{7}{2} - \frac{3}{2}$ - Priorité : multiplication $\frac{7}{6} \times \frac{7}{2}$ **H = \frac{3}{7} + \left(\frac{17}{14} - \frac{23}{28}\right)$ - Priorité : parenthèses $\frac{17}{14} - \frac{23}{28}$ **J = \left(\frac{8}{5} + \frac{7}{5}\right) \times \frac{4}{5}$ - Priorité : parenthèses $\frac{8}{5} + \frac{7}{5}$ **K = \frac{53}{30} - \frac{3}{10} + \frac{9}{10}$ - Priorité : opérations de gauche à droite (addition et soustraction au même niveau) **L = \frac{7}{6} \times \left(\frac{7}{2} - \frac{3}{2}\right)$ - Priorité : parenthèses $\frac{7}{2} - \frac{3}{2}$ **M = \frac{3}{7} + \frac{17}{14} - \frac{23}{28}$ - Priorité : opérations de gauche à droite 5. **Calculs détaillés des expressions (N à V) :** **N = \frac{8}{5} + \frac{7}{5} \times \frac{4}{5}** $$\frac{7}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{28}{25}$$ $$N = \frac{8}{5} + \frac{28}{25} = \frac{40}{25} + \frac{28}{25} = \frac{68}{25}$$ **P = \frac{53}{30} - \left(\frac{3}{10} + \frac{9}{10}\right)$ $$\frac{3}{10} + \frac{9}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$$ $$P = \frac{53}{30} - \frac{6}{5} = \frac{53}{30} - \frac{36}{30} = \frac{17}{30}$$ **Q = \frac{7}{6} \times \frac{7}{2} - \frac{3}{2}$ $$\frac{7}{6} \times \frac{7}{2} = \frac{49}{12}$$ $$Q = \frac{49}{12} - \frac{3}{2} = \frac{49}{12} - \frac{18}{12} = \frac{31}{12}$$ **R = \frac{3}{7} + \left(\frac{17}{14} - \frac{23}{28}\right)$ $$\frac{17}{14} - \frac{23}{28} = \frac{34}{28} - \frac{23}{28} = \frac{11}{28}$$ $$R = \frac{3}{7} + \frac{11}{28} = \frac{12}{28} + \frac{11}{28} = \frac{23}{28}$$ **S = \left(\frac{8}{5} + \frac{7}{5}\right) \times \frac{4}{5}$ $$\frac{8}{5} + \frac{7}{5} = \frac{15}{5} = 3$$ $$S = 3 \times \frac{4}{5} = \frac{12}{5}$$ **T = \frac{53}{30} - \frac{3}{10} + \frac{9}{10}$ $$\frac{53}{30} - \frac{3}{10} + \frac{9}{10} = \frac{53}{30} - \frac{9}{30} + \frac{27}{30} = \frac{53 - 9 + 27}{30} = \frac{71}{30}$$ **U = \frac{7}{6} \times \left(\frac{7}{2} - \frac{3}{2}\right)$ $$\frac{7}{2} - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$U = \frac{7}{6} \times 2 = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$$ **V = \frac{3}{7} + \frac{17}{14} - \frac{23}{28}$ $$\frac{3}{7} = \frac{12}{28}, \frac{17}{14} = \frac{34}{28}$$ $$V = \frac{12}{28} + \frac{34}{28} - \frac{23}{28} = \frac{23}{28}$$ 6. **Calculs des expressions W à Z :** **W = \left(\frac{1}{2} - \frac{3}{4}\right) \times \frac{16}{9}$ $$\frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}$$ $$W = -\frac{1}{4} \times \frac{16}{9} = -\frac{16}{36} = -\frac{4}{9}$$ **X = \frac{1}{2} - \frac{3}{4} \times \frac{16}{9}$ $$\frac{3}{4} \times \frac{16}{9} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3}$$ $$X = \frac{1}{2} - \frac{4}{3} = \frac{3}{6} - \frac{8}{6} = -\frac{5}{6}$$ **Y = \frac{1}{5} - \frac{3}{10} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$ $$\frac{3}{10} \times \frac{1}{6} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$$ $$Y = \frac{1}{5} - \frac{1}{20} + \frac{1}{2} = \frac{4}{20} - \frac{1}{20} + \frac{10}{20} = \frac{13}{20}$$ **Z = \left(\frac{1}{5} - \frac{3}{10}\right) \times \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{2}\right)$ $$\frac{1}{5} - \frac{3}{10} = \frac{2}{10} - \frac{3}{10} = -\frac{1}{10}$$ $$\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$Z = -\frac{1}{10} \times \frac{2}{3} = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15}$$ **Réponses finales simplifiées :** - A = $\frac{9}{16}$ - B = $-\frac{3}{2}$ - C = $\frac{25}{3}$ - D = $-\frac{25}{8}$ - N = $\frac{68}{25}$ - P = $\frac{17}{30}$ - Q = $\frac{31}{12}$ - R = $\frac{23}{28}$ - S = $\frac{12}{5}$ - T = $\frac{71}{30}$ - U = $\frac{7}{3}$ - V = $\frac{23}{28}$ - W = $-\frac{4}{9}$ - X = $-\frac{5}{6}$ - Y = $\frac{13}{20}$ - Z = $-\frac{1}{15}$