1. مسئله: باید حاصل ضرب جواب‌های معادله $$7 = \sqrt{x^2 - x - 1} + \sqrt{x^2 - x + 6}$$ را پیدا کنیم. 2. ابتدا توجه کنیم که عبارت‌های زیر رادیکالی باید تعریف شده باشند: $$x^2 - x - 1 \geq 0 \quad \text{و} \quad x^2 - x + 6 \geq 0$$ 3. معادله را به صورت زیر بنویسیم: $$7 = \sqrt{x^2 - x - 1} + \sqrt{x^2 - x + 6}$$ 4. برای ساده‌سازی، فرض کنیم: $$a = \sqrt{x^2 - x - 1}, \quad b = \sqrt{x^2 - x + 6}$$ 5. پس معادله می‌شود: $$a + b = 7$$ 6. با مربع کردن دو طرف: $$a^2 + 2ab + b^2 = 49$$ 7. جایگذاری مقادیر $a^2$ و $b^2$: $$ (x^2 - x - 1) + 2ab + (x^2 - x + 6) = 49$$ 8. ساده‌سازی: $$2x^2 - 2x + 5 + 2ab = 49$$ 9. بنابراین: $$2ab = 49 - (2x^2 - 2x + 5) = 44 - 2x^2 + 2x$$ 10. پس: $$ab = 22 - x^2 + x$$ 11. از تعریف $a$ و $b$ داریم: $$ab = \sqrt{(x^2 - x - 1)(x^2 - x + 6)}$$ 12. مربع کردن هر دو طرف: $$(ab)^2 = (22 - x^2 + x)^2 = (x^2 - x - 1)(x^2 - x + 6)$$ 13. سمت راست را باز می‌کنیم: $$ (x^2 - x - 1)(x^2 - x + 6) = x^4 - 2x^3 + 4x^2 + 5x - 6$$ 14. سمت چپ را باز می‌کنیم: $$ (22 - x^2 + x)^2 = ( - x^2 + x + 22)^2 = x^4 - 2x^3 + 45x^2 + 44x + 484$$ 15. معادله نهایی: $$x^4 - 2x^3 + 45x^2 + 44x + 484 = x^4 - 2x^3 + 4x^2 + 5x - 6$$ 16. ساده‌سازی: $$45x^2 + 44x + 484 = 4x^2 + 5x - 6$$ 17. همه را به یک طرف می‌بریم: $$45x^2 - 4x^2 + 44x - 5x + 484 + 6 = 0$$ $$41x^2 + 39x + 490 = 0$$ 18. معادله درجه دو داریم: $$41x^2 + 39x + 490 = 0$$ 19. حاصل ضرب ریشه‌ها برای معادله درجه دو $ax^2 + bx + c = 0$ برابر است با: $$\frac{c}{a} = \frac{490}{41}$$ 20. بنابراین حاصل ضرب جواب‌های معادله برابر است با: $$\boxed{\frac{490}{41}}$$